在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x^2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO垂直于BO。求证直线AB过定点

Answer 1

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．则△AOB得重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为
y=3x^2+2/3

然直线AB的斜率存在，记为k，AB的方程记为：y=kx+b，（b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入y=x2得：x2-kx-b=0，则有：
△=k2+4b＞0①，x1+x2=k②，x1x2=-b③，又y1=x12，y2=x22
∴y1y2=b2；
∵AO⊥BO，∴x1x2+y1y2=0，
得：-b+b2=0且b≠0，
∴b=1，代入①验证，满足；
故y1+y2=k（x1+x2）+2=k2+2；
设△AOB的重心为G（x，y），

则x=
x1+x2
3
=
k
3
④，y=
y1+y2
3
=
k2+2
3
⑤，
由④⑤两式消去参数k得：G的轨迹方程为y=3x2+
2
3
．
故答案为：y=3x2+
2
3
．

Answer 2

设A（x1,x1^2） B(x2,x2^2)
则AO斜率为x1，BO斜率为x2
所以x1*x2=-1
B(-1/x1,1/x1^x)
将AB两点看做已知点
求直线方程得到y=(x1-1/x1)x+1
所以恒过定点（0,1）