高中数学 三角函数问题

Question

ω>0，y=sin(ωx+π/4)在（π/2，π）上单调递减，则ω的取值范围是？

Answer 1

f（x）=sin（ωx+π/4）的单调递减区间是：
2kπ+π/2<ωx+π/4<2kπ+3π/2
即有2kπ/ω+π/(4ω)<x<2kπ/ω+5π/(4ω)
令k=0，即得π/4ω<x<5π/(4ω)
又因为在区间（π/2,π）上单调递减，则有：
π/(4ω)<π/2且π<5π/(4ω)

所以1/2<ω<5/4

参考:
当x∈(π/2,π)时，wx+π/4∈(πw/2+π/4,πw+π/4)
而函数y=sinx的单调递减区间为[π/2,3π/2]
那么πw/2+π/4≥π/2，πw+π/4≤3π/2
所以1/2≤w≤5/4，即w的取值范围是[1/2,5/4]

追问

【π/4ω<x<5π/(4ω)】是代表什么啊？
那个参考 什么意思？

追答

【π/4ω<x<5π/(4ω)】是代表函数的单调减区间
那个参考 就是参考的另一种 解法

追问

啊 我懂了 不过 为什么可以让k=0呢？周期函数 所以w不应该是很多集合的并集么？

Answer 2

【参考答案】

当π/2<x<π且w>0时，
πw/2<wx<πw
(πw/2)+(π/4)<wx+(π/4)<πw+(π/4)
由于函数y=sinx在[0, 2π]上的递减区间是[π/2，3π/2]
∴（πw/2)+(π/4)≥π/2
πw+(π/4)≤3π/2
解得1/2≤w≤5/4
故w的范围是[1/2, 5/4]

追问

其他人是从wx+(π/4)往x推 为什么这里反过来从x往wx+(π/4)推呢 是什么依据呢。

追答

函数y=sin(wx+ π/4)的一个递减区间是(π/2, π)
可以求出wx+ π/4在x∈(π/2, π)上的的取值范围是(πw/2 +π/4，πw+π/4)
把wx+π/4看做X，由于y=sinX在(0, 2π)上递减区间是[π/2, 3π/2]
∴根据(πw/2)+(π/4)≥π/2，πw+(π/4)≤3π/2即可求出w的范围

注：这一思想是整体思想，即把wx+ π/4看做大得X，将原函数看做y=sinX，相比之下，解答起来更为简便。

Answer 3

k为整数
y=sin(ωx+π/4)的递减区间π/2+2kπ<=ωx+π/4<=3π/2+2kπ
π/4+2kπ<=ωx<=5π/4+2kπ
因为ω>0，所以
π/4ω+2kπ/ω<=x<=5π/4ω+2kπ/ω
π/4ω>=π/2且5π/4ω<=π
1/4ω>=1/2且5/4ω<=1
1/2<=ω<=4/5

追问

π/4ω>=π/2且5π/4ω<=π
这一步 为什么呢。

Answer 4

求导y'≤0 得出 x的范围 然后转化为集合的包含关系了 ，求出的范围应该包含已知范围！即可得到答案！