一道关于三角形的数学难题，数学大师进，数学高手进，急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急

Question

如图，已知等边三角形ABC最后，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，M为直线BC上的一个动点，△DMN为等边三角形（点M位置改变时，△DMN也随之整体移动）
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请说明理由。
（2）如图2，当点M在BC上时，其他条件不变，（1）的结论最后EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由。
（3）若点M在点C右侧时请你在图3最后画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立，若成立，请说明理由。

Answer 1

解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，

（2）成立．
方法一：连接DE，DF．
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线、
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°
又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE．
方法二：
延长EN，则EN过点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC
又∵D，E，F是三边的中点，
∴EF=DF=BF
∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN
又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°，
∴△DBM≌△DFN
∴BM=FN
∵BF=EF，∴MF=EN．
方法三：
连接DF，NF
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DF为三角形的中位线，
∴DF= 12AC= 12AB=DB
又∠BDM+∠MDF=60°，∠NDF+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN
在△DBM和△DFN中，DF=DB，
DM=DN，∠BDM=∠NDF，
∴△DBM≌△DFN．
∴∠B=∠DFN=60°
又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，
∴∠DFE=60°
∴可得点N在EF上，
∴MF=EN．

（3）如图③，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）
祝你学习进步，天天开心。不懂还可以再问
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