lim(x→0) (5x+sin^2 x -2x^3)/(tanx+4x^2) 用等价无穷小怎么算

Question

当x→0时,x近似＝sinx近似＝tanx,
这样lim(x→0) (5x+sin^2 x -2x^3)/(tanx+4x^2)
　＝lim(x→0) (5x+x^2 -2x^3)/(x+4x^2)
＝lim(x→0) (5+ x -2x^2)/(1+4x)
＝5
但是涉及加减的时候好像不能用等价无穷小代换啊！

lim(x→0) (5x + sin²x - 2x³)/(tanx + 4x²)、0/0不定型，运用洛必达法则
= lim(x→0) (5 + sin2x - 6x²)/(sec²x + 8x)
= (5 + 0 - 0)/(1 + 0)
= 5
但是第二步sin2x在x趋于0的时候是没有极限的啊 0+和0-不一样啊

Answer 1

楼主的两种解答方法，都是正确的，都无懈可击。
至于楼主担忧的问题，解答如下。
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1、在有加减的情况下，等价无穷小不能随便用，这句话是对的；
但是，这句话是有前提的，那就是：
进行等价无穷小代换后，不出现零的情况。
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2、本题的分子分母，在进行了大家无穷小代换后，分子分母
化简后，分子、分母都是定值，都不等于零，所以，可以使用
大家无穷小代换。
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3、sinx、sin2x、sin3x、、、，在 x 趋向于零时，无论是左极限，
还是右极限，都是等于零。
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如有疑问，欢迎追问，有问必答，有疑必释。
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Answer 2

正确做法如图所示

Answer 3

sin2x在x趋于0的时候 0+和0- 是一样的，都是0