求不定积分(cosx-sinx)/(1+(sinx)^2)

Answer 1

∫ (cosx - sinx)/(1 + sin²x) dx
= ∫ cosx/(1 + sin²x) dx - ∫ sinx/(1 + sin²x) dx
= arctan(sinx) - A
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A = ∫ sinx/(1 + sin²x) dx、u = tan(x/2)，sinx = (2u)/(1 + u²)
= ∫ (2u)/(1 + u²) * 1/[1 + (4u²)/(1 + u²)²] * 2/(1 + u²) du
= ∫ (2u)/(1 + u²) * (1 + u²)²/[(1 + u²)² + 4u²)] * 2/(1 + u²) du
= 4∫ u/(1 + 6u² + u⁴) du
= 2∫ 1/(1 + 6u² + u⁴) d(u²)、令u² = s
= 2∫ 1/(1 + 6s + s²) ds
= 2∫ 1/[(s + 3)² - 8] ds，令s + 3 = w
= 2∫ 1/(w² - 8) dw
= 2∫ [(w + √8) - (w - √8)]/(w² - 8) dw
= 2/(4√2) * ∫ [1/(w - √8) - 1/(w + √8)] dw
= 1/(2√2) * ln[(w - √8)/(w + √8)] + C
= 1/(2√2) * ln[(s + 3 - 2√2)/(s + 3 + 2√2)] + C
= 1/(2√2) * ln[(u² + 3 - 2√2)/(u² + 3 + 2√2)] + C
= 1/(2√2) * ln{[tan²(x/2) + 3 - 2√2]/[tan²(x/2) + 3 + 2√2]} + C
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原式 = arctan(sinx) - [1/(2√2)]ln{[tan²(x/2) + 3 - 2√2]/[tan²(x/2) + 3 + 2√2]} + C