几道排列组合问题

Question

1.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有几种？
2.由6个工厂组建一个公司，共需10名技术人员，现在分配给每个工厂至少1个名额，至多3个名额，那么这10个名额在这6个工厂分配情况共有几种。
3.由1，4，5，x，这四个数字组成没有重复数字的4位数，所有这些数字的个位数字之和为288，则数字x是几。
4.楼梯有10级，上楼可以1步上1级，也可以1步上2级，要用8步上完这楼梯，共有几种方法？
5.把10个苹果分成3堆，要求每堆至少一个，至多5个，则不同的分法有几种？
6.1，2，3，4.....2006中，恰好出现1个数码0的正整数的个数为？
7.由n*n个边长为1的正方形拼成的正方形棋盘中，由若干个小正方格能拼成的所有正方形的数目是多少？
8.在由数字1，2，3，4，5，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有的个数为？
9.从0，3，4，5，7中任取3个数分别作为一元二次方程的二次项系数，1次项系数及常数项，则可作出的不同方程的个数是？

要详细的步骤！！！！！
2,6,9与答案不一样，第3题我做的也是38

Answer 1

我数学凑合，可能有错误，做个参考吧。
1.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有几种？

解答：首先可以注意到，题目的限制条件是“恰有两个空座位相邻”那么我就将这两个座位捆绑为一个整体参与排列，先排三个人，由于人是不同的，故排法数是A33(第一个3是A右下角的角标，第二个三是右上角的角标，往后同理）接着插空，三个人中有4个空，空是一样的，那么方法数是C42，再用乘法原则，座法总数是：A33×C42，结束。

2.由6个工厂组建一个公司，共需10名技术人员，现在分配给每个工厂至少1个名额，至多3个名额，那么这10个名额在这6个工厂分配情况共有几种。

解答：首先看到题目的约束条件是“每个工厂至少1个名额，至多3个名额”那么我首先在这是个人中选6个人排列A10，6.剩下4个人再分配到剩下的6个场中，由于题目的约束条件我只能分情况讨论：共三种情况：（1）1+1+1+1=4 （2）1+1+2=4 （3）2+2=4
这三种情况的分发数分别为：（1）A64 （2）C61×A52 （3）C42×C22*C62
然后按照加法和乘法原则把数目求和即可。

3.由1，4，5，x，这四个数字组成没有重复数字的4位数，所有这些数字的个位数字之和为288，则数字x是几。
解答：首先我可以知道这四个数能组成的4位数的总数为：A44，那么每个数出现在个位的概率是1/4，那么可以列出一个方程：（1+4+5+X）×A44/4=288于是解得X=38，然而这个答案明显是错的，所以我没辙了，我也想知道答案。

4.楼梯有10级，上楼可以1步上1级，也可以1步上2级，要用8步上完这楼梯，共有几种方法？
解答：首先可以求出上6个一步，2个二步，然后从8步中选出来就得了：C82×C66.结束。

5.把10个苹果分成3堆，要求每堆至少一个，至多5个，则不同的分法有几种？
解答：这跟第二问差不多，还是分类
（1）1+4+5=10 （2）2+3+5 （3）2+4+4 （4）3+3+4 好像就这4类，然后从十个苹果里面取就可以了，只要注意（3），（4）里面有个平均分组的问题就可以了，结束。

6.1，2，3，4.....2006中，恰好出现1个数码0的正整数的个数为？
解答：（1）个位数中没有
（2）十位数中就一个：10
（3）百位数中必须是中间的一个数码为0，且首字母不会0，那么个数是：C91×C11×C91.
（4）千位数比较麻烦，0这个数码只能在中间的两个位置上出现C21，首字母只有1或2两个选择，当首字母是1时，个数是：C21×C91×C91
当首字母是2时，没有满足题意的，最后把所有的数目加起来，结束。

7.由n*n个边长为1的正方形拼成的正方形棋盘中，由若干个小正方格能拼成的所有正方形的数目是多少？
解答：我们首先拿最简单的例子来分析，如果只有一个方形，那么很明显，数目是一。
下面再复杂一点，2×2个方形，就有5个。
再分析3×3个的，你可以自己分析一下，用分类讨论的思想，可以推出是1×1+2×2+3×3=14个
然后用不完全归纳的思想可得出N×N的方格数为：1×1+2×2+3×3+……N×N=那个公式不好打，你应该会了吧？不过这个思想不好，不知道有没有牛人给出完全的理论分析，我是归纳出来的。

8.在由数字1，2，3，4，5，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有的个数为？
解答：这个很常规的，自己慢慢琢磨就可以出来了，就一分类讨论的思想，细心点就可以了。我用#代表数字，我的分类是：23###， 24### ，25###
3####，41###，42###，43###。接下来再细化一下就可以出答案了。

9.从0，3，4，5，7中任取3个数分别作为一元二次方程的二次项系数，1次项系数及常数项，则可作出的不同方程的个数是？
解答：拿到这道题时我用的是逆向思维的方法，反正他没说这方程必须有解，那就随便取数了，只要二次项系数不为0就可以了，就是A53-A42，结束。

累死了，花了一中午时间，肯定有错误，只是做个参考，我要高考了，数学复习的还凑合，希望各位提出我的错误，谢谢。