高二数学大神进 关于那个均值不等式，为什么积定和最大，和定积最小。公式我知道了，但为什么当且仅当那

Question

高二数学大神进
关于那个均值不等式，为什么积定和最大，和定积最小。公式我知道了，但为什么当且仅当那个等于那个时，得最大最小值？一定要讲明白啊

Answer 1

设a>0，b>0，
积为定值：设 ab = C (C为常数），则 a = C/b
a^2 + b^2 = C^2/b^2 + b^2 = ( C/b - b)^2 + 2 = (a - b)^2 +2
当两个正数的积为定值时，两个正数的和只有在两数相等时才有最小值，若两正数的差值越大，则俩正数的各也越大 {从（a-b)^2 +2看出}
和为定值：设a+b = C (C为常数），则 a = C - b
则ab = (C - b)b = bC - b^2 = - ( b^2 - bC) = - ( b^2 - bC + C^2/4) +C^2/4 = - ( b - C/2)^2 + C^2/4
= - [ b - (a+b)/2]^2 + C^2/4 =- (b/2 - a/2)^2 + C^2/4
这说明，当两正数的和为常数时，两正数的积只有在两正数相等时才有最大值，若两正数的差值越大，则这两正数的积越小 {从 -(b/2 - a/2)^2 +C^2/4 看出}
这就是积定和大、和定积小的真正含义