如图， 和 所在平面互相垂直，且 ， ，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证： ；（2）求二面角 的正

Question

如图， 和 所在平面互相垂直，且 ， ，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证： ；（2）求二面角 的正弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2） .

试题分析：（1）（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC= ，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可证明EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 易得 ,所以 ，因此 ,从而得 ；（2） （方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF，因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO= EC= BC·cos30°= ，由△BGO∽△BFC知， ,因此tan∠EGO= ,从而sin∠EGO= ，即可求出二面角E-BF-C的正弦值. （方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为 ，设平面BEF的法向量 ，又,由  得其中一个 ，设二面角E-BF-C的大小为 ，且由题意知 为锐角，则 ，因此sin∠EGO= ，即可求出二面角E-BF-C的正弦值. （1）证明： （方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF， 由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC= ，即FO⊥BC， 又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO， 又EF 面EFO，所以EF⊥BC. （方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 易得B（0,0,0），A(0，-1， ),D( ,-1,0)，C(0,2,0),因而 ,所以 ，因此 ,从而 ，所以 . （2）（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF. 因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角； 在△EOC中，EO= EC= BC·cos30°= ，由△BGO∽△BFC知， ,因此tan∠EGO= ,从而sin∠EGO= ，即二面角E-BF-C的正 温馨提示：内容为网友见解，仅供参考 当前网址：https://aolonic.com/aa/k3a3n3kg5dg4a5a1a1.html 其他看法 无其他回答 相似回答 大家正在搜 奥礼网 - 免责声明 - 关于 - 联系 本页内容来自于网络，若涉及权益，请点击【举报该文章】 联系电邮