平面上三个向量abc的模均为1，并且a与b，a与c的夹角为60度，求a+b+c的长度及其与a的夹角o的余弦值

Answer 1

b与c同向，|b|=|c|=1，故向量b=c
|a+b+c|=|a+2b|=√[(a²+(2b)²+4ab]=√(1+4+4 |a| |b| cos60°)=√7
cosθ=(a+b+c)·a/(|a+b+c| |b|)=(a+2b)·a/(√7 * 1)=(a²+2ab)/√7 =(1+2|a||b|cos60°)/√7 = 2√7 /7

Answer 2

|a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2ab=2+2cos60=3
|a+b|=√3
a+b和a夹角A |b|/sinA=|a+b|/sin(180-60)
sinA=(1/√3)sin120=(1/2)
A=30
a与a+b夹角30
a与c夹角60
a+b和c夹角30+60=90
|a+b+c|^2=|a+b|^2+|c|^2+2(a+b)*c=4
|a+b+c|=2
a+b+c和a夹角o 和c夹角为B o=60-B
|a+b+c|/sin(180-B)=|c|/sin(90-B)
cosB/sinB=1/2
tanB=2,cosB^2=1/5 cosB=1/√5,sinB=2/√5
coso=cos(60-B)=cos60cosB+sin60sinB=(1/2)(1/√5)+(√3/2)*(2/√5)=(1/10)(√5+2√15)

Answer 3

由于这三个向量是在同一平面上，所以向量b与c的夹角只能是两种0度或者120度，
设这三个向量分别为a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x3,y3),依题意可知：x1平方+y1平方=1，x2平方+y2平方=1，x3平方+y3平方=1,x1x2+y1y2=1/2，x1x3+y1y3=1/2，
当向量b与c的夹角为0度时，x2x3+y2y3=1
此时，三个向量和的模等于√7，与向量a夹角的余弦值=2√7/7
当向量b与c的夹角为120度时，x2x3+y2y3=-1/2，
此时，三个向量和的模等于2，与向量a夹角的余弦值=1