已知椭圆焦点坐标和曲线经过的一个点P,怎么求椭圆标准方程？

Question

已知椭圆的两个焦点坐标是F1(-√3,0)F2(√3,0)并经过点p(√5,-√6)的椭圆标准方程

Answer 1

已知椭圆焦点坐标和曲线经过的一个点P,怎么求椭圆标准方程？

答:使用待定系数法.
即由已知椭圆焦点坐标,
设满足条件的椭圆标准方程.
再由条件:曲线经过一个点P,
则该点P的坐标应满足所设的椭圆标准方程,
把该点P的坐标代入所设的椭圆标准方程,
则可得到一个关于要待定的系数a,b的一个等式,记为方程(1);
再由已知的椭圆焦点坐标,
得到另一个关于要待定的系数a,b的等式,记为方程(2);
联立方程(1)和方程(2),
解方程组求得待定的系数a,b的平方的值(即可),
把求出的a,b的平方的值,代入所设的椭圆标准方程,
即为所求的椭圆的标准方程.

如:
已知椭圆的两个焦点坐标是F1(-√3,0)F2(√3,0)并经过点p(√5,-√6)的椭圆标准方程

解:由椭圆的两个焦点坐标是F1(-√3,0)F2(√3,0)
知椭圆的焦点在x轴上,
故应设椭圆的标准方程为:
x²/a²+y²/b²=1
由条件:椭圆经过点p(√5,-√6),得
5/a²+6/b²=1 (1)

再由已知椭圆的两个焦点坐标是F1(-√3,0)F2(√3,0),
和a,b,c满足的关系式:
c²=a²-b²
得a²-b²=(√3)²=3 (2)

联立方程(1)和方程(2),
解方程组求得待定的系数a,b的平方的值为:
b² =4+根号34=4+√34,b² =4-根号34=4-√34 <0.(舍去)
a²=c²+b²=3+b²=3+4+√34=7+√34.
代入所设的椭圆标准方程,
x²/a²+y²/b²=1

得所求的椭圆的标准方程为:
x²/(7+√34)+y²/(4+√34)=1.

Answer 2

a^2-b^2=(√3)^2=3
5/a^2+6/b^2=1
=>5/a^2+6/(a^2-3)=1
=>a^2=7+根号34 b^2=4+根号34