x,y,z为正整数，x+y+z=3,求x^2+y^2+z^3最小值

Question

我尝试将原式+z-z,化z的3次为2次，后面就不知道了

特别注意题目写错了，是x，y，z是正实数

以前老师讲过一次，可惜忘了，反正答案不是3

Answer 1

x+y+z≥3倍3次根号（xyz)
所以3倍3次根号（xyz)≤x+y+z=3
3次根号（xyz)≤1
所以：
x^2+y^2+z^2≥3倍3次根号（xyz)²â‰¥3

即x^2+y^2+z^2最小值是3

祝你开心

追问

你看错了，是z^3哈，如果是z^2就没意思了

Answer 2

如果x，y，z都是正整数，又要x+y+z=3，那不是只能都是1了。。。。
这个条件如果改成x,y,z都是正数，就有的做了：
x+y+z=3
平方：(x+y+z)^2=9 => x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=9
根据均值不等式 x^2+y^2≥2xy y^2+z^2≥2yz z^2+x^2≥2zx
所以 3(x^2+y^2+z^2)≥9
x^2+y^2+z^3≥3
等号成立条件是x=y=z=1

追问

题目打错了，是正实数。还有，你把最后那个z^3当z^2做了

Answer 3

请参照图片

追问

可是。。我不知道拉格朗日函数诶。。。真的没看懂
不过，好像原来讲的答案没有这么复杂的说

追答

这是用大学数学做的，高中的方法有点难

Answer 4

其实这么思考，很显然x和y是对称的，于是x^2+y^2>=[(x+y)^2]/2 当且仅当x=y

于是x^2+y^2+z^3>=[(x+y)^2]/2+z^3=[(3-z)^2]/2+z^3=z^3+z^2/2-3z+4.5

于是转化为关于z函数的最小值，那么对f(z)=z^3+z^2/2-3z+4.5 进行求导函数，进而求最小值。
判断接下来你应该可以了。希望我的回答能让你满意，谢谢。

Answer 5

3

追问

3……最后一个可是z^3

Answer 6

……