弧形重心公式推导

Question

已知一劣弧形金属杆（拱向下），所在圆半径为R，求中心位置。
（可能还已知，圆心角α）
已知一劣弧形金属杆（拱向下），所在圆半径为R，求中心位置。
（可能还已知，圆心角α）
是公式推导，别来虚的
高中奥赛需要，请不吝赐教

Answer 1

不记得高中是否学过积分的方法了，不过这问题如果使用积分的方法解决似乎就太平常，没有必要作为奥赛题目了。下面的解法需要极限的概念，并会用到基本极限：当α→0时，（sinα)/α→1。

考虑一段半径为R，弧度为α的劣圆弧,即0<α<π,该圆弧的圆心为O，设圆弧的重心距离点O的距离为y，则y=f（α），圆弧极短时时，y趋近于R，即α→0时，y=f（α）→R。
设想将圆弧平分则半段圆弧的重心为f（α/2），则总重心位于两个分圆弧重心的连线中点，易得：

f（α）=f（α/2）*cos（α/4）

n次平分后f（α）=f（α/2^n）*cos（α/2^(n+1)）*cos（α/2^n）*cos(α/2^(n-1))*....*cos（α/4）
=f（α/2^n）*cos（α/2^(n+1)）*cos（α/2^n）*cos(α/2^(n-1))*....*cos（α/4）*sin（α/2^(n+1)）/sin（α/2^(n+1)）
=f（α/2^n）*sin(α/2)*2^n/sin（α/2^(n+1)）
f（α）=f（α/2^n）*sin(α/2)*2^n/sin（α/2^(n+1)）
=f（α/2^n）*sin(α/2)*（2/α）*[（α/2^(n+1)）/sin（α/2^(n+1)）]

n→∞时，（α/2^(n+1)）/sin（α/2^(n+1)→1，且f（α/2^n）→R

所以，n→∞时，f（α）=f（α/2^n）*sin(α/2)*（2/α）*[（α/2^(n+1)）/sin（α/2^(n+1)）]→（2R/α）*sin（α/2）
即，劣弧重心y=f（α）=（2R/α）*sin（α/2）( 0<α<π) .

Answer 2

由于此金属杆是对称的，所以重心必然在对称轴上且此对称轴一定过所在圆圆心。
设此弧重心到所在圆中心距离为l；
设金属杆线密度为ρ；
根据重心位置公式：
r=∑（Mi/∑M）Li；
有：Mi=2ρRdθ;∑M=ραR;Li=Rcosθ;
(以下积分上下限分别为：α/2，0)
l=∫2ρRdθ*Rcosθ/ραR=(2R/α)sinα/2;
所以此金属杆重心在对称轴上且距离所在圆圆心：(2R/α)sinα/2；

Answer 3

由于此金属杆是对称的，所以重心必然在对称轴上且此对称轴一定过所在圆圆心。
与对称轴为X轴,过原点的纵轴为Y轴
因为Y方向上积分为0
就只算X方向
设C为重心坐标
Xc=∫lxdl/l
因为圆弧的方程知道
a为圆心角
x^2+y^2=r^2
将x带入微分方程
就可以得
Xc=(r*sina)/a
也就是离圆心的距离为(r*sina)/a (a为弧度,不是角度)

Answer 4

初等方法：定理：质量分布均匀且在一平面上的线段，当它始终垂直于自身平面运动时，它扫过的面积S等于线段长L乘以质心运动的路程C。
令该圆弧绕其一边旋转一周，S＝2pi×R×h，h＝R×（1－cos a），L＝a×R，所以C＝S/L＝2pi×R×（1－cos a）/a＝2pi×r，r＝R×（1－cos a）/a，r为质心到一边的距离，质心到圆心的距离x＝r/sin(a/2)=2R×sin(a/2)/a=Rsin(a/2)/(a/2)

Answer 5

如果不是很重，放在手指上，试几次，找到平衡的位置就是了。
如果是求重心的位置，可以采用两次悬挂的方法来找到。