→利用定义证明lim[x→1](x^2-1)/(2x^2-x-1)=2/3,书上有一步“如限制x于0<|x-1|<1,则1<|2x+1|,why

Question

我是这样想的：先有|2X+1|>1,再反推回0<|x-1|<1,不知是不是这样？那为什么要写成这个样子呢？只写出x的范围不就行了吗？为什么还要写成一个不等式的形式？如果是这样，那么对于这道题“利用函数的极限证明lim[x→1](x^2-1)/(x^2-x)=2"我化简得|(x-1)/x|之后，是不是只要写成x>1,所以|x-1|>0就行了？
另外我看参考书上，利用定义求lim[x→2]1/(x-1)=1，这道题时，这样写：x→2时，|x-2|≦1/2,1/2是怎么来的？

Answer 1

1/2是随便写的。或者这样说1/2是一个由作者可以任意定义的正数就可以了。
你喜欢1/4,1/8,2/3都可以，但是只要能够让证明成立就行。不是一个死板的东西。

你说的 如限制x于0<|x-1|<1,则1<|2x+1|,，前个不等式说明x在1的领域里，后面只是一个式子，它1<|2x+1|,写出来只是为了证明后面的所需要的东西。

先有|2X+1|>1,再反推回0<|x-1|<1,这是不对的。你不如去反退你所需要证明的那个极限需要什么条件，然后由0<|x-1|<γ去找看γ需要限制为多大，再作出另外一个不等式为你所用就可以了。

追问

你说“1/2是随便写的。或者这样说1/2是一个由作者可以任意定义的正数就可以了。”怎样才是能够让证明成立呢？能详细说一下吗？另外为什么要在1的邻域内呢？是因为趋向于1的原因吗？是不是说若是趋向于2，则写成0<|x-1|<2?那么若得出来的式子不满足1<|2x+1|该怎么办呢？

追答

我不知道本题目中证明时需要哪个不等式，你看在证明时中的需要的那个不等式是什么，是不是由这个0<|x-1|<2 1<|2x+1有关的，我不是太清楚原题目怎么证明的，所以也不知道作者的思想。

另外为什么要在1的邻域内呢？是因为趋向于1的原因吗？
当然是因为它是趋向于1的原因了。所以才要有0<|x-1|<2 至于这个2，是作者的要求，只要它是正数就可以了。

是不是说若是趋向于2，则写成0<|x-1|<2? 趋向这个定义你要再下书看下
：如果说趋向于一个数a,则有x-a的绝对值小于一个正数b,b可以任意小。

Answer 2

(x^2-1)/(2x^2-x-1)=(x+1)(x-1)/(2x+1)(x-1)=(x+1)/(2x+1)，因为x趋近于2，所以上述式子趋近于2/3。至于第二题不知道你想干什么，是求导，还是证明？

Answer 3

函数连续0比0型，同时求导得到答案。