已知a,b,c为正数,求证a^3+b^3+c^3≥1/3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)

Question

要多种方法来解答

Answer 1

用X代替左边，Y代替右边，则此题为证明X≥Y。
先计算3X-3Y。
3X-3Y=3(a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)
=2(a^3+b^3+c^3)-(a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b)
将右边含有a^2，b^2，c^2的项提取出来，整理得
3X-3Y=(a-b)a^2+(a-c)a^2+(b-a)b^2+(b-c)b^2+(c-a)c^2+(c-b)c^2
=(a-b)(a^2-b^2)+(a-c)(a^2-b^2)+(b-c)(b^2-c^2)
=(a-b)(a-b)(a+b)+(a-c)(a-c)(a+c)+(b-c)(b-c)(b+c)
=(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2
因为a, b, c为正数，所以(a+b), (b+c), (a+c)也为正数
3X-3Y≥0，当且仅当a=b=c时，等号成立
所以X≥Y，也就是a^3+b^3+c^3≥1/3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)

追问

方法 过于繁杂 要简单点的 而且要多种

追答

本题一般可用均值不等式证明; 以下用Cauchy不等式证: ∵a、b、c∈R+, ∴(a+b+c)(a^3+b^3+c^3) ≥(a^2+b^2+c^2)^2 =(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2) ≥[(a+b+c)^2/(1+1+1)]*(a^2+b^2+c^2) 上式两边除以a+b+c,得 a^3+b^3+c^3≥1/3*(a+b+c)(a^2+b^2+c^2).
3（a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)
=2(a^3+b^3+c^3)-(ab^2+ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c)(1)
a^3-a^2b-ab^2+b^3
=a^2(a-b)-b^2(a-b)
=(a-b)(a^2-b^2)
=(a+b)(a-b)^2,
∴（1）式=（a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2>=0,
∴命题成立。