三角形ABC,点D ,E, F分别是AB,BC,CA边上的点。已知三角形DEF是正三角形,AD=BE=CF,求证三角形ABC是正三角形

Answer 1

反证法
不妨设∠A∠B∠C中∠A最大，则BC大于其它两边（大边对大角），所以EC>BD和AF，所以∠CFE在对应的3个角中最大，所以∠C在对应的三个角中最小
因为∠A在对应的三个角中最大，所以∠AFD在对应的三个角中最大（相等边的底角）
∠AFD+60度=∠FEC+∠C
因为∠AFD>∠FEC，所以∠C>60度
三角形中，最小的角大于60度，是不可能的。所以假设不成立
所以三角形ABC是正三角形

你看看这样行不行

追问

略有些模糊，比如若∠A最大，那∠C为什么一定是最小的

追答

∠A最大》》∠CFE最大
在对应的三个小三角形中 EF 和 CF是已知的和其他2个三角形相等的边 夹角越大 另外两个∠就越小 画图易证 我只能这么解释了 希望能看懂、、

Answer 2

1）∵△ABC为正三角形
∴∠A=∠B=∠C=60
∵∠1=∠2=∠3
∴△DBE∽△ECF∽△FAD
∴∠BED=∠EFC
∵∠BED+∠DEF+∠3=∠3+∠C+∠EFC=180
∴∠DEF=∠C=60
同理∠EDF=60，∠DFE=60
即△DEF为正三角形。

Answer 3

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=BC，
∵AD=BE=CF，
∴AC-CF=BC-BE=AB-AD，
∴EC=AF=BD，
∴在△ADF，△BED，△CFE中，
∠A=∠B=∠CAD=BE=CFEC=AF=BD
，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形，
（2）证明：（1）的逆命题成立，
已知：△DEF是等边三角形，求证：AD=BE=CF．
证明：∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°，DF=EF=DE，
∵等边三角形ABC，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠ADF+∠AFD=120°，∠ADF+∠BDE=120°，∠BDE+∠DEB=120°，∠AFD+∠EFC=120°，
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC，
在△ADF，△BED，△CFE中，
DF=ED=FE∠A=∠B=∠C∠ADF=∠BED=∠CFE
，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD=BE=CF．
三角形ABC没有告诉你是等边三角形，上面的解法条件不够

Answer 4

还有没有其他条件？