（非）齐次（非）线性常微分方程与极坐标

Answer 1

微分与积分的结合体，思维含量相当丰富。

任意一阶线性微分方程，皆可利用积分因子与分离变量的方法解决。以下为例：

首先确定积分因子：

随后，便可以轻松解决这个看似复杂的积分：

积分因子并非本文重点，关键在于如何构造P、Q、R以解决此积分。至于积分因子的原理，感兴趣者可参考下图：

接下来，分析这个形态怪异的超长微分方程。

需要注意的是，对于此方程，常规的分离变量或引入积分因子的方法无法解决。这是一个非常规的一阶非齐次非线性微分方程（first order non-homogenous non-linear differential equation）。所谓非齐次，即等式右边不为0；非线性，即变量的指数超过1次方。而常规操作，最多只能解决一阶（非）齐次线性微分方程。

因此，我们将这个方程从平面直角坐标系转换到极坐标系来考虑：

简要介绍极坐标，即将（x,y）转化为（r, theta），其中r为任意一点到原点的距离，theta为其与原点的连线与x轴正半轴夹角，也称为极角。

经过变量分离后，便是乏味的裂项过程：

由于图示较长，方程的解析式相对复杂。实际上，没有必要将极坐标方程转换为直角坐标方程，因为极坐标方程既简洁又具有代表性。

如果必须转换，需要参考以下几种复杂情况：

二阶齐次线性微分方程的解决方法相对程序化。解决一般方程，也需要使用积分因子的方法：

这说明，对任何合理的函数p和q，微分方程的解都是存在的。我们首先研究当p和q为常数的情况。有如下定理：

其证明方法如下：

根据这一结论，我们可以找到所有齐次线性方程的通解：

其中得到的这个二次方程被称为该微分方程的特征方程(characteristic equation)。对于方程的根，需要对三种不同情况分别进行分析：

以下是一个例子，但需要先解决一个微分方程组：

最后，再次运用极坐标的原理，可以发现，在许多情况下，可以将复杂的直角坐标方程转化为简洁明了的极坐标方程，从而绘制出图像。

顺便也可以得到y关于t的图像：

关于非齐次方程，只需加入特解即可，特解的形式根据方程等号右边而定：

简单来说，非齐次方程的解一定包含了齐次方程的解。

关于应用，下文将为大家展示。

首先，需要补充一下共振（resonance）的概念，指一物理系统在特定频率和波长下，比其他频率和波长以更大的振幅做振动的情形。通常是由于收到了外力的影响，外力的频率与物体自身震动频率相同时，共振便会发生。

那么，为什么此时振幅会大幅度提高呢？下面将从数学的角度为其证明：

接下来需要用到三角函数的和差化积公式（国内高中一笔带过了，但是在国外很常见）：

为了绘制其图像，我们可以将其理解为：函数g(x)以函数f(x)为振幅在震动（根据g(x)频率高于f(x)）：

则得到如下图像：

为了研究共振的图像，只需要令w趋向于w0即可：

最后，介绍一下二阶非线性微分方程。目前，我还没有找到通用的解决方法，但可以根据题目进行恰当的换元来解决。例如：

通常思路为通过换元将非线性转化为线性：

得到换元公式后，代入原方程，便可得到线性方程。随后再运用常规操作，找到通解和特解：