已知f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=-2/3和x=1时都取到极值，若对x属于【1,2】,不等式f(X)<c^2恒成立，求c取值范围

Answer 1

你好！

f'(x) = 3x² + 2ax + b
f'(x) = 0 有两根 -2/3 ，1
由韦达定理（根与系数的关系）
-2/3 + 1 = - 2a/3
-2/3*1 = b/3
即 a = -1/2 ，b= -2
f(x) = x³ - 1/2 x² - 2x + c
当x∈[1,2]时，f(x)单调递增
最大值 f(2) = 2+c
f(x) < c² 恒成立
只需 2+c < c²
c² - c - 2 > 0
(c+1)(c-2) > 0
c < - 1 或 c > 2

Answer 2

f(X)求导=3X62+2ax+b x=-2/3和x=1时都取到极值 x=-2/3和x=1时f（x）导数的值为0.联立方程，求出a b。故可知x属于【1,2】函数单调递增。g（x）=f（x）—c^2＜0 X=1时，解方程组。