x的平方=x+1,y的平方=y+1,x不等于y．求证（１）x+y=1 （２） x的５次方+y的５次方的值

Question

各位数学天才～帮帮忙了哈．咱不会啊～

Answer 1

因为x的平方=x+1,y的平方=y+1,x不等于y．所以
x,y可以看做是方程：t²-t-1=0的两个根
所以
x+y=1
xy=-1

(1)x+y=1
(2)x的5次方+y的5次方
=x²Ã—x³+y²Ã—y³
=（x+1）x³+(y+1)y³
=x的4次方+x³+y的4次方+y³
=(x+1)²+(y+1)²+x³+y³
=(x²+2x+1+y²+2y+1)+(x+y)³-3xy(x+y)
=（x+y）²-2xy+4+1-3xy
=6-5xy
=6+5
=11

Answer 2

x²=x+1,y²=y+1
所以x,y是方程t²-t-1=0的两根
那么x+y=1

x^5+y^5
=x^2*x^2*x+y^2*y^2*y
=x(x+1)(x+1)+y(y+1)(y+1)
=x(x²+2x+1)+y(y²+2y+1)
=x(x+1+2x+1)+y(y+1+2y+1)
=x(3x+2)+y(3y+2)
=3x²+2x+3y²+2y
=3(x+1)+2x+3(y+1)+2y
=5(x+y)+6
=5+6
=11

Answer 3

1）x²=x+1 y²=y+1 两式相减 x²- y²=x-y
（x- y）（x+y ）= x-y x不等于y
所以x-y≠0 x+y=1

2）x²=x+1 y²=y+1 所以x²+ y²=2+y+x=3
x^5 +y^5=x（x+1）^2 + y（y+1）^2=x^3 + y^3 +2x^2 + 2y ^2 +x+y
=x（x+1） + y（x+1）+2x^2 + 2y ^2 +x+y
=x^2 + x + y ^2+y + 2x^2 + 2y ^2 +x+y
=3（x^2 + y ^2）+2（x+y）
=3*3+2*1
=11