如何讨论三次方程实根的个数（用导数的方式）

Question

讨论方程 ax^3+bx^2+cx+d=0（a>0）的实根个数，使用求导的方式

Answer 1

令f(x) =ax^3+bx^2+cx+d(a>0)。

先用导数确定f(x)是否有极值，若无极值,则f(x)在R递增，原方程有且只有一个实根；

若有极值(必为一极大一极小)，则当f(x)的极大值小于0或f(x)的极小值大于0时，原方程有且只有一个实根，当f(x)的极大值等于0或f(x)的极小值等于0时，原方程有且只有两个不同的实根，当f(x)的极大值大于0且f(x)的极小值小于0时，原方程有且只有三个实根。

扩展资料：

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。

反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

Answer 2

令f(x) =ax^3+bx^2+cx+d(a>0)。

先用导数确定f(x)是否有极值，若无极值,则f(x)在R递增，原方程有且只有一个实根；

若有极值(必为一极大一极小)，则当f(x)的极大值小于0或f(x)的极小值大于0时，原方程有且只有一个实根，当f(x)的极大值等于0或f(x)的极小值等于0时，原方程有且只有两个不同的实根，当f(x)的极大值大于0且f(x)的极小值小于0时，原方程有且只有三个实根。

导数的计算

计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

导数的求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

Answer 3

令f(x)
=ax^3+bx^2+cx+d(a>0).
先用导数确定f(x)是否有极值,若无极值,则f(x)在R递增,原方程有且只有一个实根；
若有极值(必为一极大一极小),则当f(x)的极大

Answer 4

有几次方就有几个根..

因为可以三阶求导.

Answer 5

令f(x) =ax^3+bx^2+cx+d(a>0)。
先用导数确定f(x)是否有极值，若无极值，则f(x)在R递增，原方程有且只有一个实根；
若有极值(必为一极大一极小)，则当f(x)的极大值小于0或f(x)的极小值大于0时，原方程有且只有一个实根，当f(x)的极大值等于0或f(x)的极小值等于0时，原方程有且只有两个不同的实根，当f(x)的极大值大于0且f(x)的极小值小于0时，原方程有且只有三个实根。
注：a<0时，根的情况不变，只是在无极值时，f(x)在R递减。

追问

也就是判断导函数〉0 、=0、 <0 三种情况吗？

追答

非也！是判断原函数否有极值(当然其中也要考虑是否有导函数〉0 、=0、 <0)。
其实，任何一元方程的实根都相当于某函数图象与x轴交点的横坐标，因此，当方程的根不好直接求出而只须判断根的个数时，通常作出函数的图象进行观察，而图象不是熟知函数的图象时，往往又通过导数探讨出函数的单调性、极值等，从而确定图象的走势，画出示意图后再观察交点个数。当然，有时也可用“二分法”判断。