鸡兔同笼解题方法

Question

鸡兔同笼有哪些不同的解题方法？越多越好！方程不算，我要写论文。
具体题目不用说，讲方法就行。实在讲不清楚的话腿数头数鸡兔数随自己定。
我再等一分钟！

Answer 1

　　鸡兔同笼，是中国古代著名趣题之一，记载于《孙子算经》之中。鸡兔同笼问题，是小学奥数的常见题型。许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--"假设法"来求解。因此很有必要学会它的解法和思路。通常是假设法比较简单易懂一点
　　鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头,从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？
　　算这个有个最简单的算法。
　　（总脚数-总头数×鸡的脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数
　　（94－35×2）÷2=12(兔子数) 总头数（35）－兔子数（12）=鸡数（23）
　　解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了总头数×2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再÷2就是兔子数。
　　假设法

　　假设全是鸡：2×35=70（条）
　　鸡脚比总脚数少：94－70=24 （条）
　　少算的脚数：4-2=2（条）
　　兔：24÷2=12 （只）
　　鸡：35－12=23（只）
　　方程法

　　一元一次方程
　　解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。
　　4x+2(35-x)=94
　　4x+70-2x=94
　　2x=94-70
　　2x=24
　　x=24÷2
　　x=12
　　鸡：35-12=23(只）
　　或
　　解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。
　　2x+4(35-x)=94
　　2x+140-4x=94
　　2x+140-4x+4x=94+4x
　　2x+140-2x=94+4x-2x
　　2x=46
　　x=23
　　兔：35-23=12(只）
　　答：兔子有12只，鸡有23只。
　　注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。
　　二元一次方程
　　解：设鸡有x只，兔有y只。
　　x+y=35
　　2x+4y=94
　　（x+y=35)×2=2x+2y=70
　　(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)
　　y=12
　　把y=12代入（x+y=35)
　　x+12=35
　　x=35-12（只）
　　x=23（只）。
　　答：兔子有12只，鸡有23只。
　　抬腿法

　　方法一
　　假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚。笼子里的兔就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。
　　方法二
　　假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚 ， 这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡。
　　方法三
　　我们可以先让兔子都抬起2只脚，那么就有35×2=70只脚，脚数和原来差94-70=24只脚，这些都是每只兔子抬起2只脚，一共抬起24只脚，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到鸡有23只。

Answer 2

一、猜测法

先猜测，再验证，逐一排除，这种方法实用性不大。

二、列举法

列举法可一一列举、跳跃列举，也可对半列举，关键在于逐步调整，以达到题意的要求，操作时若数据较大时过程颇为繁琐，比较费时，目的性也不强，在此不加赘述。

三、假设法

假设法也就是先假设全部是其中的某一种（鸡或兔），算出脚的只数，看比实际脚的总只数是多了还是少了，由于一只兔比一只鸡多（4－2）只脚，再用多余或不足的脚只数除以“差”（4－2）就是另一种的只数。具体算法是：

1、假设全部都是“多”量（兔）：

多余的脚只数÷“差”=“少”量（鸡）

例如，假设全部都是兔，就有脚4×12=48（只），比实际脚的总只数多出了48－38=10（只），则鸡有10÷（4－2）=5（只）。兔的只数就是12－5=7（只）。

2、假设全部都是“少”量（鸡）：

不足的脚只数÷“差”=“多”量（兔）

例如，假设全部都是鸡，就有脚2×12=24（只），比实际脚的总只数少了38－24=14（只），则兔有14÷（4－2）=7（只）。鸡的只数就是12－7=5（只）。

四、方程法

方程法是最适用，也是最具一般性的解答方法，这种方法思路清晰，易于理解。具体方法是：设甲有x只，则乙有a－x只。根据等量关系“鸡脚总数＋兔脚总数=脚的总只数”就可列出方程进行解答。

如：

、解：设鸡有x只，则兔有12－x只。

2x＋4×（12－x）=38

x =5

兔有12－5=7（只）。

、解：设兔有x只，则鸡有12－x只。

4x＋2×（12－x）=38

x =7

鸡有12－7=5（只）。

在方程法中，为了避免像方法的解方程过程中出现“2x＋48－4x=38 ”小学生应用现在小学知识还难以理解的知识问题，在帮助学生理解后，可建议学生像方法那样设“多”的（兔）为x，就可避免出现像“2x－4x”这样的问题。

五、“抬腿法”（减半法）

“抬腿法”是我们的祖先解决“鸡兔同笼”问题的经典方法，体现了我们祖先的聪明才智。其算理是：假如每只鸡都抬起一条腿（“金鸡独立”），同时每只兔也都抬起两条腿（蹲着），各抬起一半腿，则总腿数减半，此时一只鸡一条腿，而有一只兔就多一条腿，所以

腿总数÷2－头数=“多”量（兔）

如上面例题，38÷2=19（只），19－12=7（只）（兔）。

学生一尝试，可能很快就会发现这种方法最简便、快捷，但在以后的训练中要让学生体会到，“抬腿法”仅适用于典型的“鸡兔同笼”问题（或“龟鹤问题”），而对于植树、租船等“鸡兔同笼”的变式问题并不通用。所以“抬腿法”具有一定的局限性。

六、对半分法

据我对“鸡兔同笼”问题的理解，用“对半分法”来解决“鸡兔同笼”问题也很适用。先假设鸡和兔（即“多”量和“少”量）各占一半，算出此时脚的全部只数，如果超过脚的总只数，说明“多”量（兔）多了，如果不够脚的总只数，说明“多”量（兔）少了；再用超过或不足部分除以脚只数“差”（4－2）就是兔多出或少的只数，然后用“一半”减去或加上多出或少的只数，就是兔的只数。

如上面例题，先假设各有12÷2=6（只），此时共有脚4×6＋2×6=36（只），不足总数38只，说明兔少了，少了（38－36）÷（4－2）=1（只），所以兔有6＋1=7（只）。同理，鸡有6－1=5（只）。

再如前面“鸡兔同笼”的原题：有35个头，共94只脚。先假设各有35÷2=17.5（只），此时共有脚4×17.5＋2×17.5=105（只），超过总数94只，说明兔多了，多了（105－94）÷（4－2）=5.5（只），所以兔有17.5－5.5=12（只）。同理，鸡有17.5＋5.5=23（只）。

“鸡兔同笼”问题的解题方法有多种，学生进入中学后，随着知识面的扩展，将会学到其它不同的解法。“鸡兔同笼”问题是我国古代劳动人民智慧的结晶，教学中我们要注意引导学生认真体会古人的聪明才智，通过用不同方法解决此类问题的综合对比，理解各种解法的局限性和优越性；通过对方程法（代数方法）解答问题的实用性和一般性的认识，体会时代在发展，科技在发展，数学方法也在不断发展的辨证唯物主义发展观念，同时经历综合运用各种方法解决“鸡兔同笼”问题的实践，充分体验用数学知识解决实际问题的成功感，感受数学的实用价值。

Answer 3

例1 （古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

分析 如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。

解：①鸡有多少只？

（4×6-128）÷（4-2）

=（184-128）÷2

=56÷2

=28（只）

②免有多少只？

46-28=18（只）

答：鸡有28只，免有18只。

我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来，解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

鸡数=（每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

兔数=鸡兔总数-鸡数

当然，也可以先假设全是鸡。

例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

分析 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？

假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。

解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。

100-20=80（只）。

答：鸡与兔分别有80只和20只。

Answer 4

1.假设全是鸡，则有：
兔的数量=（总足数-2×总头数）÷2
鸡的数量=总头数-兔的数量
2.假设全是兔，则有：
鸡的数量=（4×总头数-总足数）÷2
兔的数量=总头数-鸡的数量

例：鸡兔同笼，共有25个头，80个脚，请问：鸡和兔共有几只?
分析：可以把兔子想象成鸡 ，即把兔子的两只脚捆起来在一起算是一只脚，则鸡兔的总脚数为2×25=50（只）。但现在是80只脚，差了30只。松开兔的脚后，每一只就会多两只脚，所以兔的只数是30÷2=15（只）
解：假设全是鸡，则总脚数：25×2=50（只）
脚差：80-50=30（只）
兔的数量为：30÷（4-2）=15（只）
鸡的数量为：25-15=10（只）
列综合算式：兔的数量：（80-2×25）÷2=15（只）
鸡的数量：25-15=10（只）
答：笼中有15只兔，10只鸡。

Answer 5

总脚数➗2➖总头数