在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AC1,A1B1的中点。点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂

Question

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AC1,A1B1的中点。点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于

Answer 1

取BB1的中点E、CC1的中点F，连接AE、EF、FD，则BN⊥平面AEFD
设M在平面AB1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为α
∴能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等
∵正方体ABCD=A1B1C1D1的棱长为1
∴矩形AEFD的周长为2+根号5

Answer 2

构建空间直角坐标系以A为原点，AB,AD,AA1分别为XYZ轴
M（1/2,1/2,1/2)，N(1/2,0,1),B(1,0,0)设P(X,Y,Z)
MP=(X-1/2,Y-1/2,Z-1/2) BN=(-1/2,0,1)因为MP垂直于BN所以可得Z=1/2X+1/4,Y可以为0到1
Z=1/2X+1/4,在面ABB1A1上的距离是根号5除以2
所以总的周长是：1×2+根号5除以2在乘以2= 2+根号5

Answer 3

找AD,CD 中点,E,F,连接,易知,EF//MN
因为:PQ//MN,(平面与两平行平面的交线平行)
所以：EF//PQ
所以DE：DP　＝　EF　：PQ, EF = a/根2　；　DP＝2／3＊a；DE＝a／2
PQ = 2＊根2＊a／3

追问

答案是2+根号5

Answer 4

2+根号5