RT三角形中，∠BAC=90°，AB=AC,D为BC中点，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°

Question

1，求证：BD.BE=BG.BE
2，求证：AG⊥BE
3，若E为AC中点，求EF/FD的值

Answer 1

1)在⊿BEC和⊿BDC中，∠EBC=∠DBG，∠FGE=45°=∠C
∴∠BDC=∠BEC, 即⊿BEC∽⊿BDC
∴BD/BG=BE/BC，BG*BE= BD*BC
∵D为BC中点，∴BC=2BD
又∵⊿ABC为等腰直角三角形，∴AB=√2BD
即BG*BE=2BD^2=（√2BD）^2=BA^2
∴BG/BA=BA/BE
在⊿BAE和⊿BGA中, ∠ABE=∠ABG
∴⊿BAE∽⊿BGA,即∠BAE=∠BGA=90°
∴AG垂直BE

(2) 连接DE，E是AC中点，D是BC中点，∴DE//BA ，因为BA⊥AC，所以 DE⊥AC设AB=2a AE=a做CH⊥BE交BE的延长线于H
∵∠AEG=∠CEH,∠AGE=∠CHE,AE=EC
∴△AEG≌△CEH(AAS)∴CH=AG ∠GAE=∠HCE
∵∠BAE为直角∴BE=√5a∴AE=AB*AE/BE=(2/√5)a∴CH=(2/√5)a
∵AG⊥BE，∠FGE=45∴∠AGF=45=∠ECB∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB;∴∠DFE=∠BCH
又∵DE⊥AC ，CH⊥BE ∴△DEF∽△BHC
∴EF:DF=CH:BC=(2/√5)a:2√2a=1:√10=√10/10

Answer 2

1)在⊿BEC和⊿BDC中，∠EBC=∠DBG，∠FGE=45°=∠C
∴∠BDC=∠BEC, 即⊿BEC∽⊿BDC
∴BD/BG=BE/BC，BG*BE= BD*BC
∵D为BC中点，∴BC=2BD
又∵⊿ABC为等腰直角三角形，∴AB=√2BD
即BG*BE=2BD^2=（√2BD）^2=BA^2
∴BG/BA=BA/BE
在⊿BAE和⊿BGA中, ∠ABE=∠ABG
∴⊿BAE∽⊿BGA,即∠BAE=∠BGA=90°
∴AG垂直BE

(2) 连接DE，E是AC中点，D是BC中点，∴DE//BA ，因为BA⊥AC，所以 DE⊥AC设AB=2a ∵∠AEG=∠CEH,∠AGE=∠CHE,AE=EC
∴△AEG≌△CEH(AAS)∴CH=AG ∠GAE=∠HCE
∵∠BAE为直角∴BE=√5a∴AE=AB*AE/BE=(2/√5)a∴CH=(2/√5)a
∵AG⊥BE，∠FGE=45∴∠AGF=45=∠ECB∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB;∴∠DFE=∠BCH
又∵DE⊥AC ，CH⊥BE ∴△DEF∽△BHC
∴EF:DF=CH:BC=(2/√5)a:2√2a=1:√10=√10/10

Answer 3

可以用等腰直角三角形画出来，直解