高等数学问题，设f(x)在x0处连续，limx->0 f(x)/(1-cosx)=2,讨论f(x)在x=0的极值性。

Question

高等数学问题，设f(x)在x0处连续，limx->0 f(x)/(1-cosx)=2,讨论f(x)在x=0的极值性。请说一下思路，多谢。

Answer 1

lim(x->0) f(x)/(1-cosx)=2>0==>f(0)=0 且 在x=0的某个领域内 f(x)/(1-cosx)>0（极限的保号性）

由于1-cosx>=0==> f(x)>0=f(0) ==>f(0)是极小值

追问

先推出了f(0)=0
下面推出f(x)>0
这两个矛盾吗？

追答

是x=0的去心领域内(1-cosx)f(x)>0==>f(x)>0

Answer 2

f(x)=xsinx，则：
f'(x)=sinx+xcosx，
f(x)在x=x0处取得极值，则：
f'(x0)=sinx0+x0*cosx0=0，
易知cosx0不=0，
所以x0=-tanx0，
x0^2=(tanx0)^2，
1+x0^2=1+(tanx0)^2=(secx0)^2，
所以(1+x0^2)(1+cos2x0)=(secx0)^2*[2(cosx0)^2]=2。