关于求极限值的问题

Question

V = 1/(a-b)*(a*e^(-b*t)-b*e(-a*t)), a>b,当t趋近于正无穷时，V的值是多少？
对了还有当a = b的情况，V值是多少。这个时候分母（a-b）不都是0了么？好奇怪

Answer 1

1

当a>b>0时，

V=(0-0)/(a-b)=0

当b<a<0时，
V=[1/(a-b)]*lim[ae^(-bt)-be(-at)] 乘以e^(bt)，然后除以e^(bt)
=[1/(a-b)]*lim[a-e^((b-a)t)] / e^(bt)
=[1/(a-b)]*[a/0]
=∞

当b<0<a时，
V=[1/(a-b)]*lim[ae^(-bt)-be(-at)]
=[1/(a-b)]*[(∞-0)/(a-b)]
=∞

当a=0, V= -b/(a-b)

当b=0,V=a/(a-b)

2
设f(x)=e^(-tx)
根据拉格朗日中值定理，存在γ∈[a,b]
使得f'(γ)(b-a)= -(b-a)te^(-tγ)=e^(-bt)-e^(-at)
当a=b时，γ=a=b
所以e^(-bt)-e^(-at)=-(b-a)te^(-tb)

V=[1/(a-b)]*lim[ae^(-bt)-be(-at)]
=[1/(a-b)]* lim[ae^(-bt)-be^(-bt)+be^(-bt)-be^(-at)]
=lime^(-bt)+[b/(a-b)]*lim[e^(-bt)-e(-at)]
=lime^(-bt)+[b/(a-b)]*lim[-(b-a)te^(-tb)]
=lime^(-bt)+blimte^(-bt)
=lime^(-bt)+blimte^(-bt)
=lime^(-bt)(1+bt)
=lime^(-bt)

所以a=b=0时，V=1

a=b<0，V=∞
a=b>0, V=0