线形代数高手请进

Question

设A为实对称矩阵，A^2=O，求证A=O.
要求
1.思路清晰
2.表达清晰

唉，我怎么就没想到呢。
特殊方程必有特殊算法。
只需A^2=AA^T的(i,i)主对角元为零,可证A=O。

A的第i行行向量 αi = (ai1,ai2,...,ain)
A^T的第i列列向量 αi^T=(ai1,ai2,...,ain)^T

AA^T的(i,i)主对角元
αiαi^T=ai1^2+ai2^2+……+ain^2=0
∴行向量αi=O
∴A=O

Answer 1

设A的列向量组为（a1,a2,...,aj）
因为A*A=0,所以A的每一列都是矩阵A的相对于特征值0的特征向量，即
A*a1=0,--------- 1式
A*a2=0,--------- 2式
...,
A*aj=0 --------- j式
又因为A是对称矩阵，则
由1式得A的第一行（第一列）各元素的平方和为0，所以其各元素均为0；
依此类推，由2式得A的第二行（第二列）各元素为0,
...
所以A=0

Answer 2

由于A是实对称矩阵，
所以A可以用正交矩阵P对角化。
即：P^(-1)*A*P=J=diag(j1,j2,...,jn)，
其中j1,j2,...,jn是A的n个特征值。

由于A*A=0，
所以P^(-1)*A*A*P=0。
上式可化为P^(-1)*A*P*P^(-1)*A*P=0，
即J*J=0，
即j1^2+j2^2+...jn^2=0，
所以j1=j2=...=jn=0。

于是A的特征多项式就是|jI-A|=j^n，
又根据A是对称矩阵，
易知jI-A=diag(j,j,...j)，（否则|jI-A|不等于j^n！）
所以A=0

Answer 3

设A的列向量组为（a1,a2,...,aj）
因为A*A=0,所以A的每一列都是矩阵A的相对于特征值0的特征向量，即
A*a1=0,--------- 1式
A*a2=0,--------- 2式
...,
A*aj=0 --------- j式
又因为A是对称矩阵，则
由1式得A的第一行（第一列）各元素的平方和为0，所以其各元素均为0；
依此类推，由2式得A的第二行（第二列）各元素为0,
...
所以A=0

Answer 4

这是个定理，你去看线性代数，上面有解答。（国防科大版）