小球放入盒子的方案数总结

Answer 1

 个小球放入   个盒子的方案数目，分情况讨论如下（  表示第二类斯特林数）：

1. 不同的小球，不同的盒子，可以有空盒：

每个小球可以放入任何一个盒子里，所以方案数是 

2. 不同的小球，不同的盒子，不能有空盒：

先认为盒子是相同的，放入小球后再进行排列，所以方案数是 

3. 不同的小球，相同的盒子，可以有空盒：

非空盒的数量可以是  ，所以方案数是 

4. 不同的小球，相同的盒子，不能有空盒：

方案数是 

5. 相同的小球，不同的盒子，可以有空盒：

可以认为是从  个盒子中挑选  个的可重复的组合，所以方案数是 

6. 相同的小球，不同的盒子，不能有空盒：

相当于每个盒子都放入一球后再计算 5. 中的问题，所以方案数是 

7. 相同的小球，相同的盒子，可以有空盒：

相当于将整数   拆分为最多   个数的拆分数，母函数为：

  ，方案数为   中   项的系数

8. 相同的小球，相同的盒子，不能有空盒：

相当于将整数   拆分为   个数的拆分数，母函数为：

  ，方案数为   中   项的系数