求一小球放入盒子的排列组合数学问题

Question

有编号为1-361号的格子,格子是由顺序的,由1-2-3-.....-361号排列.
现有小球红色,蓝色,灰色三种,要求按照规定放小球到这361个格子中.
每个格子只能放1个球.
规定:
红色小球可以放179(最少)-361(最多)
蓝色小球可放0(最少)-178(最多)
灰色小球可放0(最少)-181个(最多)
求一共有多少种组合排列???????????????????
格子是有顺序的,请注意! 红球永远比蓝球多

Answer 1

三种小球，只考虑放两种即可，余下的必定是第三种。
考虑到红球最少，灰球最多时，仍会余下一格必需放蓝球，需要排除多算的组合。
红球361个全放时，刚好放满格子，只有1种排列组合。

设红球放了m个，蓝球放了n个，则排列组合有
{∑[C(361,m)C(361-m,n)]}+1-C(361,179)C(361-179,0)，其中m，n都是整数，179≤m＜361，对每一个固定的m值，有0≤n≤361-m且n≤178。

式子看着简单，但需要用到电脑编程来计算才能得出数值。
（∑表示求和。式子里含有两个递变量m与n，每取一个可能的m值代入，都需要遍历所有可能的n值先求和，然后再取下一个m代入。C(正整数，0)=1。）

Answer 2

先从361个位置中选179个全放红的，有C179
361种
还剩余182个位置
剩余的有5种情况，全红，红蓝组合，红灰组合，蓝灰组合，三色组合
对5种分分别讨论：（一）全红，有1种
（二）红蓝组合：因为蓝的最多178，所以最少需要4个红的。先在182个位置中选4个放4红的，有C4
182种
还剩余178个位置，每个有红或蓝2种选择，所以一共有2^178种
（三）红灰组合：因为灰的最多181，所以最少需要1个红的。先在182个位置中选1个放1红的，有C1
182种
还剩余181个位置，每个有红或灰2种选择，所以一共有2^181种
（四） 蓝灰组合：最少有4个灰的和一个蓝的，如果不是这样，灰的有3，2，1的话，蓝的就不够的，同样，最少要有个蓝的，否则灰的不够
先在182个位置中安排这5个，C5 * C1
182种 5
还剩余177个位置，每个有蓝灰2种选择，所以一共有2^177种
五（三色组合），先在182个位置中选3个，各放有一个 有A3
182种
这时还有179个位置，红的最多有179，蓝的最多177个，灰的最多180，红的灰的都够单独放满，而蓝的少
所以红和灰的最少要一共放两个，从179个位置选2个，有C2
179，这2个有，全红，红灰，灰红，全灰4种情况，
剩余的177个位置 每个有3^177种
最后有分类原则：一共有
C179/361 *
（一+二+三+四+五）
其中 一：1
二：C3*2^178
182
三： C1*2^181
182
四： C5 * C1*2^177
182 5
五：A3* C2*4*3^177
182 179

差不多就这样了吧

Answer 3

这是排列问题:

∑[P(361,k)P(361-k,m)P(361-k-m,n)]
其中:
k=179,180,181,...361 （这是红球）
m=0,1,2,...178 （这是蓝球）
n=0,1,2,...181 （这是灰球）
且:
m<=361-k
n<=361-k-m

符号解释：
P(361,k)=361!/(361-k)!表示将红球放入361个格子的任意k个格子中的排列数。
P(361-k,m)表示将红球放入361个格子的任意k个格子中后，再将蓝球放入剩余空格的任意m个格子中的排列数。
P(361-k-m,n)表示将红球放入361个格子的任意k个格子中后，再将蓝球放入剩余空格的任意m个格子中，最后再将灰球放入剩余空格的任意n个格子中的排列数。
∑[P(361,k)P(361-k,m)P(361-k-m,n)]表示以上各种可能的k、m、n取值时的乘积进行求和。

这个可以借助编程来解决计算问题，这正是人的弱项，电脑的强项。

Answer 4

当放x个红球,y个灰球时,共有放法为C(361,x)*C(361-x,y)=(361!*(361-x)!/X!)/Y!;
当x确定时,y取值范围为0-(361-x),引入f(Z)=F(Z-1)+1/Z!,F(1)=1,
则按y从1到(361-x)进行累加可得:361!*(361-x)!*F(361-X)/X!;
再按X从179到361进行累加可得:P=∑361!*(361-x)!*F(361-X)/X!;
但因361-x最大为182与y最大才181,故须扣除此时的放法182*C(361,179),
最终结果就是:P-182*C(361,179).

注:上面漏掉了y=0,此时当X固定时,就只有一种情况,故还须增加X从183到360的以下累加:Q=∑C(361,x),

Answer 5

格子虽然有顺序，但不属于排列问题，还是组合问题，因为调换球没有影响。

首先放必须放的179个红球，一共有C(179,361)种。剩下182个格子。

如果不考虑球的数量，一共有3^182种。但是要去掉几种情况：
1. 182个全是灰色的情况，有1种。
2. 179，180，181，182个蓝色的情况，有C(179,182)*2^3+C(180,182)*2^2+C(181,182)*2+1种。计算出为：7972329种。

好了，答案就是C(179,361)*(3^182-1-C(179,182)*2^3-C(180,182)*2^2-C(181,182)*2-1) = 晕了。。。我不会算了。只能给式子了。

太复杂了，好像是C(179,361)*6.8559613241279753105360754948554e+86