高一数学题 求详解 可用正弦余弦定理解答

Question

①已知a.b.c分别是△ABC的三个内角A.B.C所对的边，若a=1,b=根号三，A+C=2B,则SinA等于多少？
②设△ABC的内角A.B.C的对边分别是a.b.c。cos(A-C)+cosB=3/2，b的平方等于ac。求B

Answer 1

①解：
由A＋B＋C＝180度，A+C=2B，可得
3B＝180度
B＝60度
根据正弦定理，可得
a/sinA=b/sinB
1/sinA=√3/sin60
sinA=√3/2/√3=1/2

②解：
cos(A-C)+cosB
=cos(A-C)-cos(A+C)
=cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC+sinAsinC
=2sinAsinC=3/2
sinAsinC=3/4
根据正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
b^2=4R^2sin^2B
a=2RsinA
c=2RsinC
因为b^2=ac
所以，sin^2B=sinAsinC=3/4
因为B<180°
所以，sinB=√3/2
B=60°或120°
但是当B=120 °时 cosB=-1/2
cos(A-C)-1/2=3/2
cos(A-C)=2(不成立)
所以，B=60°

Answer 2

b>a,则B>A.B=60度,则A不可能为钝角
过C作AB的垂线CD
CD=BCsin60=√3/2
sinA=√3/2/√3=1/2

2，由正弦定理，由b^2=ac可得sin^2(B)=sinA*sinC
由于三角形中A+B+C=180,则B=180-（A+C）
cos(A-C)+cosB
=cos(A-C)+cos(180-(A+C))
=cosAcosC+sinAsinC-cos(A+C)
=cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)
=2sinAsinC
=3/2
所以sinAsinC=3/4
即sin^2(B)=3/4
sinB=√3/2
所以B=60或B=120

Answer 3

A+B+C=3B B=60 a/sina=b/sinb sina=asinb/b =1/2

cos(A-C)+cosB=3/2=cos(A-C)-cos(A+C)=cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC+sinAsinC=2sinAsinC
sinAsinC=3/4 b/sinb=a/sina b/sinb=c/sinc ；两式相乘 bb/sinbsinb=ac/sinasinc sinbsinb=3/4 sinb=根号3/2 b=60或120°
当b=120 °时 cosB=-1/2 cos(A-C)-1/2=3/2 cos(A-C)=2(舍) b=60°

Answer 4

第一题：由:A+C=2B 得 A+B+C=3B=180度 ，那么B=60度。再根据余弦定理可以把c边长求出来。那么三角形的三边都出来了。SinA自然可求。

第二题：COS（A-C）+COSB = COS(A-C) - COS（A+B)
=2SinASinC=3/2
所以 SInASinC=3/4
又因为 SinA/a =SinB/b =SinC/c
所以SInA/SInB=a/b ，SinC/SinB=c/b
所以SinASinC=(SinB)的平方=3/4