排列组合中的隔板法怎么用？

Answer 1

隔板法就是在n个元素间插入（b-1）个板，即把n个元素分成b组的方法。在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题，常用隔板法。

隔板法就是把m个相同单元分配成n组。这样m个单元中间有m-1个空格，分成n组需要n-1块隔板，所以就是C（m-1，n-1）种方法。
注意：隔板法的单元必须是相同的。

例1：

将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？ 

分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.  解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，因为允许有盒子为空，不符合隔板法的原理，那就人为的再加上3个小球，保证每个盒子都至少分到一个小球，那就符合隔板法的要求了（分完后，再在每组中各去掉一个小球，即满足了题设的要求）。然后就变成待分小球总数为23个，球中间有22个空档，需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份，共有C（22，2）=231种不同的方法. 

点评：对n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n件物品分成m组，允许若干组为空的问题.将n件物品分成m组，需要m-1块隔板，将这n件物品和m-1块隔板排成一排，占n+m-1位置，从这n+m-1个位置中选m-1个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有Cn+m-1 m-1种不同的方法，再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有Cn+m-1 m-1×1=Cn+m-1 m-1种排法。