关于“设方阵A满足A^2-A-2E=0,证明：A及A+2E都可逆,（A+2E）的逆矩阵”

Question

前面求A的逆矩阵比较简单，为什么求A+2E的逆矩阵不能这样：因为A可逆，所以A²可逆，然后A²＝A＋2E，等式两边都乘A∧（-2），得到E＝（A＋2E）×A∧（-2），从而A＋2E逆矩阵为A∧（-2）

Answer 1

A^2-A-2E=0推出A^2-A=2E，所以A(A-E)=2E，从而A的逆矩阵为1/2(A-E).

A^2-A-2E=0推出A^2-A-6E=-4E，所以(A+2E)(A-3E)=-4E，从而A+2E的逆矩阵为-1/4(A-3E).

可以如图改写已知的等式凑出逆矩阵。

扩展资料

性质定理

1.可逆矩阵一定是方阵。

2.如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3.A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4.可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5.若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6.两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7.矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

Answer 2

已知A²-A-2E=O
那么A(A-E)=2E
即A(A-E)/2=E
于是A是可逆的，其逆矩阵为(A-E)/2
同理(A+2E)(A-3E)=-4E
即(A+2E)(-A+3E)/4=E
于是A+2E是可逆的，其逆矩阵为(-A+3E)/4

Answer 3

第一种不对, 因为此时还不知道 A+E 是否可逆.
第二种是对的.
知识点: 若A,B是同阶方阵, 且 AB=E, 则A,B都可逆,并且 A^-1=B,B^-1=A.
由于 A[(1/2)(A-E)] = E
所以A可逆, 且 A^-1 = (1/2) (A-E).
同理, 由A^2-A-2E=0
则有 A(A+2E) -3(A+2E) + 4E = 0
所以 (A-3E)(A+2E) = -4E
所以 A+2E 可逆, 且 (A+2E)^-1 = (-1/4) (A-3E).

Answer 4

当然可以（不过这不是配方而是因式分解），不过然后呢？并没有什么卵用。

正解是E=(1/2)(A^2-A)=A[(1/2)(A-E)]，因此A可逆。
再由|A+2E|=|A^2|=|A|^2不等于0知A+2E可逆。

Answer 5

思路没有问题。
实际上这种求逆矩阵的题目，答案的表现形式并不是唯一的
但是可以证明他们都相等

追问

好的！谢谢，主要是看了书上答案还有网上搜索的答案全是(-A+3E)/4，搞不懂我这样的思路和算法为什么不对。是的，确认可以证明出来相等的