关于排列组合错排列的问题

Question

比如3个人的贺卡 每人都不拿自己的
那有9 种。
2个人的贺卡 每个人都不拿自己的 就1中
现在比如说 N 个人的贺卡 每个人都不拿自己 那有多少种?
能不能把思路讲一下

Answer 1

这个叫全错排列问题,最早是由欧拉给出的答案.我们不妨设N个人的拿法为f(N),则f(N)=(N-1)[f(N-1)+f(N-2)].f(0)=0,f(1)=1.这个递推公式是很容易证明的.
证明如下:
设N个人为a,b,c,d...,N张卡为A,B,C,D...
若a拿b的卡B,b也拿a的卡A,则显然只剩下N-2个人拿卡,自然是f(N-2)种了.
若a拿b的卡B,b没拿a的卡A(与"b没拿b的卡B"相同),则显然与N-1个人拿卡一样,自然是f(N-1)种了.
而a不一定拿B,只要是B,C,D...(N-1个)中的一个就可以了,所以在f(N-1)+f(N-2)再乘上N-1就行了.
如果你学过解抽象函数方程的话,f(N)=(N-1)[f(N-1)+f(N-2)]在自然数内的解是f(N)=N=1).

Answer 2

抽象函数是正确的，递推公式也是正确的，但是应该说明，实际情况下f(1)=0的，这里假设f(1)=1是有问题的。
我的理解是f(1)=0,f(2)=1, 对于f(N)应该从N大于等于3开始使用公式。
如果f（1）＝1，那么根据递推公式，f（2）＝1×（0+1）＝1，f（3）＝2×（1+1）＝4，这个就错了，实际上f（3）应该等于2。（根据上面列出的抽象函数，f（3）＝6×（1/2-1/6）=2。）

Answer 3

2+3+4+5+......+N+(N+1)+(N+2)

Answer 4

先求出总数N²，再减去不拿自己的数N