高二数学排列组合问题

Question

1、一段铁路原有m个车站，为适应客运要求，要增加n（n>1）个车站，这时客车票增加了58种，问原有车站数m是多少？
2、从六名运动员中，选出四名参加4×100m接力赛，若甲乙都不跑第一棒，有多少种不同的安排方案？
3、用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复的三位数，其中偶数共有多少个？

要有过程，不要穷举

Answer 1

第1题：
每个车站都有发往其它站的票，有m个车站时会有 m(m-1) 种车票，增加n个站后总共有 （m+n） 个车站时会有 (m+n)(m+n-1) 种车票，则我们可以列式：
(m+n)(m+n-1)- m(m-1)=58
化简可得
(m+n)(m+n-1)- m(m-1)=n(2m+n-1)=58
由于m，n均为整数，则 2m+n-1 也是整数，故由上式可得 n 与 2m+n-1 是58的两个因子，由于58=2*29=1*58，所以说
① n=2,2m+n-1=29，可得m=14;
② n=1,2m+n-1=58，可得m=29;
所以答案有两种，原有14个站，新增加2个车站，或者原有29个站，新增加1一个车站；（这个不叫凑，也不叫蒙，这个方法叫做分析法，完整格式，结束）

接下来两题均为特殊元素或特殊位置优先安排问题，

第2题：
分步，第一道不要甲或者乙，优先安排，有4种选择，剩下3道和5人随便安排，有A(5,3)=60种选择，总有N=4*60=240种选择；

第3题：
特殊位置末位（必须是偶数）与首位（必须非零），
第一类，末位为0，另外2个位置4个数字随便取，有N1=4*3=12种；
第二类，末位为2或者4，有2种情况，首位非零，有3种情况，中间位置随便取，有3中情况，故N2=2*3*3=18种；
所以总有N=N1+N2=30种情况；

留下了我的名字~#$%^&*

Answer 2

第二题

没法输入角标，你按照念的顺序写吧 A64-A53-A53=10首先，跑步存在顺序，所以用A所有情况为A64 即6个人中选4个排序，减去，甲跑第一棒的情况，那么，甲固定，剩下3个位置5个人里面选3个排所以为A53，再减去乙跑第一棒的情况理由同上也是A53
6x5x4x3-5x4x3x2x2=360-240=120

第三题

52个

要得到偶数，那么个位可以为0,2,4三种。

首先以0为个位，那么百位可以有1,2,3,4,5五种选择，需要不重复的数字，那么十位就为剩下的四种选择，这种方法就有5*4=20个；

以2为个位，那么百位只有1,3,4,5四种选择，同理，但是十位可以有0，所以十位有四种选择，这种方法有4*4=16个；

最后以4为个位，百位可以有1,2,3,5四种选择，则十位可以有0，十位也有四种选择，这种方法有4*4=16个；

最后把这些方法加起来即为最终答案：20+16+16=52

所以这样的偶数有52个

Answer 3

2.C41*P53
第一位不是甲乙，4选一。接下来就是5个选3

3.P42+C31*C31+C31*C31
第一种，0结尾。P42
第2种，2结尾，第一位不可以是0.C31，第2位C31
第3种，4结尾，第一位不可以是0.C31，第2位C31