x^2+y^2=208(x-y) 初中竞赛题~~

Question

求x^2+y^2=208(x-y)关于x,y的所有正整数解.
x^2+y^2=208(x-y) x,y为正整数
解：x^2+y^2=208x-208y
x^2-208x+y^2+208y=0
x^2-208x+104^2+y^2+208y+104^2=104^2*2
(x-104)^2+(y+104)^2=104^2*2
因为x,y为正整数 所以y+104>104 y+104>=105
并且（y+104)^2<=104^2*2
所以y+104<104^2*2 即105<=y+104<=147
因为(x-104)与(y+104)同为整数
且104^2*2=21632 个位数为2
所以(x-104)^2与(y+104)^2的个位数字同为1或6
所以当同为1时，y+104=111,121,131,141
经验证x-104不为整数
所以个位数同为6
即y+104=106,116,126,136,146
经验证当y+104=136,即y=136-104=32时,(x-104)为整数
即(x-140)^2+136^2=104^2*2
(x-104)^2=56^2
x-104=±56
x1=160,x2=48
所以原方程解为
{x=160,y=32
{x=48,y=32

这是我找到的答案. 但是为什么
"因为(x-104)与(y+104)同为整数
且104^2*2=21632 个位数为2
所以(x-104)^2与(y+104)^2的个位数字同为1或6 "?

还有"所以当同为1时，y+104=111,121,131,141
经验证x-104不为整数 " 这里怎么验证吖..
我验到可以的. 请高手帮忙` 无限感激~~

Answer 1

解答“因为(x-104)与(y+104)同为整数
且104^2*2=21632 个位数为2 ；
所以(x-104)^2与(y+104)^2的个位数字同为1或6 ”

这个这样理解：因为21632是两个平方数相加，从1到9各个数（多位数的话看个位）的平方数个位一定为：1，4，9，6，5，，6，9，4，1，归纳一下：一共有1，4，5，6，9五种情况，现在可以从这5个数中任意取2个（可以重复取），使其和的个位数为2，那么只有（1+1）和（6+6）这两种情况，
所以(x-104)^2与(y+104)^2的个位数字同为1或6 ；

解答“还有"所以当同为1时，y+104=111,121,131,141
经验证x-104不为整数 ”
y+104=111,121,131,141 ，
验证就是用104^2*2(21632)减去111^2,121^2，131^2，141^2，再开方，看是不是整数。

这里我给你做个例子，比如Y+104=111时，（x-104)^2=21632-111^2=9311
根号9311不是整数。

再比如Y+104=136时，（x-104)^2=3136
根号3136等于56
所以想x=160，是整数，有解。