全国初中竞赛题:关于x,y的方程x^2+y^2=208(x-y)的所有正整数解为?

Question

全国初中竞赛题:关于x,y的方程x^2+y^2=208(x-y)的所有正整数解为?

Answer 1

易知X>Y
假设X=2K+1，则X^2为奇数，而208（X-Y）为偶数，所以Y为奇数，记Y=2T+1
有
2（2K^2+2K+2T^2+2T+1)=208*2(K-T)
（2K^2+2K+2T^2+2T+1)为奇数，208*2(K-T)/2为偶数，矛盾
所以X、Y都是偶数

那么假设
X=2^N*MA,Y=2^N*MB,(A、B互质,A>B，M为奇数）
有
2^2N*M^2*(A^2+B^2)=208*2^N*M(A-B)=2^(N+4)*13M(A-B)

假设A-B=C*2^P,(P为0或自然数，C为奇数）易知B、C互质
有
2^2N*M^2*(2B^2+2BC*2^P+C^2*2^2P)=2^(N+4)*13MC*2^P

P=0时
M^2*(2B^2+2BC+C^2)和13MC为奇数，所以
2^2N=2^(N+4),N=4
此时
M*(2B^2+2BC+C^2)=13C
由于13为质数，所以M为13或1
M=13时
C=2B^2+2BC+C^2>=C^2，1>=C矛盾
所以M=1
0=2B^2+2BC+C^2-13C
B=(-C±(26C-C^2）^(1/2))/2
由于B为整数，所以(26C-C^2）^(1/2)为完全平方数
记D^2=26C-C^2
当C有大于2的质因数Q时，D整除Q，则B也整除Q，B、C不互质，矛盾，所以C为1，B=2或B=-3，由于B>0，所以B=2带回X、Y得到
X=48，Y=32

P≠0时
2^（2N+1）*M^2*(B^2+BC*2^P+C^2*2^（2P-1）)=2^(N+4+P)*13MC
B为奇数时，同样有
N=3+P
B^2+BC*2^P+C^2*2^（2P-1）=13C
同样判断出C=1
即
B^2+B*2^P+2^（2P-1）=13,
有13>2^(2P-1),3>P
将P=1、2分别带入知仅当P=2时，B为整数，B=-5或B=1，由于B>0，所以排除B=-5，将B=1带回X、Y知
X=160，Y=32

P≠0，B为偶数时，则A可以整除2，与假设的A、B互质矛盾，所以B不是偶数

综上有
X=48，Y=32
X=160，Y=32