关于x,y的方程x^2+y^2=208(x-y)的所有正整数解为-----有简便方法吗

Answer 1

令
x+y=a>0
x-y=b>0
原式可化为
a^2/2+b^2/2=208b
a^2=b(416-b)
a^2=208^2-(208-b)^2
即a^2+(208-b)^2=208^2

先给你一个基本规律，对任意正整数x,y,z
如果有x^2+y^2=z^2
且z为偶数，则x,y均为偶数。
证明，因为z为偶数，所以，x,y同为奇数或偶数。
若x，y同为奇数，可设之为，2m+1,2n+1
则有左边=4m^2+4n^2+4m+4n+2，除以4余2
而右边是一个偶数的平方，是4的倍数，矛盾。
所以，x,y只能同为偶数。
这个还可以推广到更一般的形式。
对任意正整数x,y,z，如果有x^2+y^2=z^2
且z能被2^k（k是自然数）整除，则x,y也能被2^k整除

所以，方程a^2+(208-b)^2=208^2
可以化成方程(a/16)^2+(13-b/16)^2=13^2
a/16是正整数，13-b/16是整数。
13^2分成平方之和只有一组(12,5)
又因为b<a，所以只有
a/16=12;13-b/16=5
和a/16=5;13-b/16=12两组解。
分别为
a=192,b=128
或a=80,b=16
故有
x=160,y=32
或x=48,y=32
其实，按简化步骤，在“即a^2+(208-b)^2=208^2”之后即可写
208^2能分解成两个正整数的平方和只有，(192,80)一组。以下同。

Answer 2

由平方差公式可得：x²+y²=(x+y)(x-y)
x²+y²=208(x-y)
(x+y)(x-y)=208(x-y)

所以如果x=y，x-y=0等式恒成立，x=y=任意正整数都满足题意
x+y=208也满足题意
x=1，y=207；x=100，y=108
如果条件就这些，答案有无数组；如果限制x≠y，答案有207组

Answer 3

using System;
namespace Test
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
int count = 0;
for (int x = 1; x <= 208; x++)
{
for (int y = 1; y <= 208; y++)
{
if(Math.Pow(x,2)+Math.Pow(y,2)==208*(x-y))
{
count++;
System.Console.WriteLine("X={0},Y={1}",x,y);
}
}
}
System.Console.WriteLine("共有{0}组正整数解",count);
System.Console.ReadKey();
}
}
}

运行结果：
X=48,Y=32
X=160,Y=32
共有2组正整数解