函数f(x)=In(1+x)+In(1-x)

Question

已知函数f(x)=In(1+x)+In(1-x).
1.求函数f(x)的奇偶性,并证明.
2.求函数f(x)的定义域.
3.判断函数f(x)的单调性,并说明理由.

Answer 1

（1）因为f(-x)=In[1+(-x)]+In[1-(-x)]
=ln(1-x)+ln(1+x)=f(x)
所以函数f(x)是偶函数。

（2）因为要使函数有意义，则
1+x>0,1-x>0解得：-1<x<1
所以函数f(x)的定义域为{x|-1<x<1}

(3)因为f(x)=In(1+x)+In(1-x)
所以f'(x)=1/(1+x)-1/(1-x)
=-2x/[(1-x)(1+x)]=-2x/(1-x^2)
又-1<x<1，所以1-x^2>0
因为当-1<x<0时，f'(x)>0,所以此时f(x)为增函数；当0<x<1时，f'(x)<0，所以此时f(x)为减函数。
所以函数在-1<x<0上时,此时f(x)为增函数；
函数在0<x<1上时,此时f(x)为减函数。

Answer 2

1。f(-x)=In(1-x)+In(1+x)=f(x)
所以是偶函数
2。1+x>0,1-x>0
所以-1<x<1
3。f(x)=ln(1+x)(1-x)=ln(1-x^2)
lnx在定义域内单调上升，1-x^2在-1<x<=0单调上生，在0<x<1单调下降所以f(x)在-1<x<=0单调上生，在0<x<1单调下降
其实关于对数的话，主要记住他的加和公式和成绩公式就可以了。一般用来判断单调性的除了定义以外，还可以用复合函数的单调性。那样有的时候还会更快点！！

Answer 3

2.根据定义域1+x>0,1-x>0，所以定义域为（-1，1）。

1.f(-x)=In(1-x)+In(1+x)=f（x），所以为偶函数。

3.f(x)=In(1+x)+In(1-x)=ln(1+x)(1-x)=ln(1-x平方)
因为内层函数在（-1，0）是增函数，【0，1）上是减函数，又因为外层函数为增函数。
所以f（x）在（-1，0）是增函数，【0，1）上是减函数。

Answer 4

先求定义域，定义域不对称的函数一定是非奇非偶函数
1+x>0 且 1-x > 0, 有-1<x<1
f(-x) = ln(1-x) + ln(1+x) = f(x)
所以是偶函数

f(x) = ln[(1+x)*(1-x)] = ln(-x^2+1)
令g(x) = -x^2 + 1,这个函数在(-1,0)单调递增，(0,1)单调递减
而y = lnx在定义域单调递增，所以根据复合函数的单调性质，外层单调递增，函数单调性由内层函数决定

故f(x) = In(1+x)+In(1-x)在(-1,0)单调递增，(0,1)单调递减

Answer 5

1。f(-x)=In(1-x)+In(1+x)=f(x)
所以是偶函数
2。1+x>0,1-x>0
所以-1<x<1
3。f(x)=ln(1+x)(1-x)=ln(1-x^2)
lnx在定义域内单调上升，1-x^2在-1<x<=0单调上生，在0<x<1单调下降所以f(x)在-1<x<=0单调上生，在0<x<1单调下降

Answer 6

f(x)=In(1+x)+In(1-x).=f(x)=In(1-x方)
所以为偶函数
2.1-x方>0
所以定义域为-1<x<1
求导的f(x)的导数是-2x/(1-x方
由定义域知：-1<x<=0时为增函数
0<x<1时，为减函数