f(x)= ∫ (下限x上限x+π\2) |sint| dt ,求f(x) 最大最小值

Question

FX周期为π已知。

Answer 1

令：f'(x)=[∫(x,a)|sint|dt)+∫(a,x+π/2)|sint|dt]'
=-|sinx|+|sin(x+π/2)|=|cosx|-|sinx|=0
得：sinx=±cosx
sinx±cosx=0
√2sin(x±π/4)=0
得：x±π/4=kπ
x=kπ±π/4=kπ/2+π/4（稳定点）
取k=0,x=π/4
f(π/4)=∫<π/4,π/4+π/2>|sint|dt=∫<π/4,π/4+π/2>sintdt=- cost|<π/4,π/4+π/2>=√2;
取k=1,x=π/4+π/2
f(π/4+π/2)=∫<π/4+π/2,π/4+π/2+π/2>|sint|dt=∫<3π/4,π+π/4>|sint|dt
=∫<3π/4,π>sintdt-∫<π,π+π/4>sintdt
=- cost|<3π/4,π>+cost|<π,π+π/4>=(1-√2/2)+(-√2/2+1)=2-√2.
所以：f(x)的最大值为：√2；最小值为2-√2.