已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2

Answer 1

（一）、设P(ms-c,s)，P(mh-c,h)，由P、Q在椭圆上，即s、h是方程
(mt-c)^2/a^2+t^2/b^2=1
的两根，由韦达定理得
s+h=2mcb^2/(b^2*m^2+a^2)
，sh=-b^4/(m^2*b^2+a^2)
；向量
AP=(ms-a-c,s)
，AQ=(mh-a-c,h)
，而向量AP
·向量AQ=(ms-a-c,s)·(mh-a-c,h)=(ms-a-c)(mh-a-c)+sh=(1/2)*(a+c)^2
，即
(m^2+1)*s*h-(a+c)*(s+h)+(1/2)*(a+c)^2=0
，联立消去s、h，并整理得
[(e+1)^2]*[(m^2-2)e^2+4e-(m^2+1)]=0（0<e<1），解得椭圆C的离心率
e=[-2+√(m^4-m^2+2)]/(m^2-2)
。
（二）、若
e∈(1/2,2/3)
，即
1/2<[-2+√(m^4-m^2+2)]/(m^2-2)]<2/3
，0<3m^4-6m^2+7
且
5m^4-17m^2+14<0
，解得
7/5<m^2<2
，m的取值范围
{m|-√2<m<-√35/5
或
√35/5<m<√2}
。
（三）、)若
AP∩l=M
，AQ∩l=N
，左准线l的方程为
x=-a^2/c
，直线AP的参数方程为
sx-(ms-a-c)y-sa=0
，求得M的纵坐标
M_y=[(a^2+ac)*s]/(ac+c^2-mcs)
，同理得N的纵坐标为
N_y=[(c^2+ac)*h]/(ac+c^2-mch)。M_y*N_y=(a^2+ac)^2*s*h/[(c^2+ac-mcs)*(c^2+ac-mch)]=(a^2+ac)^2*s*h/[(c^2+ac)^2-mc(c^2+ac)(s+h)+m^2*c^2*s*h]=(a^2+ac)^2*(-b^4)/[(c^2+ac)^2*(m^2*b^2+a^2)-2m^2*c^2*b^2*(c^2+ac)-b^4*m^2*c^2]=(a^2+ac)^2*(-b^4)/{(c^2+ac)^2*a^2+[(c^2+ac)^2-2*c^2*b^2*(c^2+ac)-b^4*c^2)]*m^2}=(a^2+ac)^2*(-b^4)/{(c^2+ac)^2*a^2+[(a+c)^2-2*(c^2+ac)-b^2]*b^2*c^2*m^2}=(a^2+ac)^2*(-b^4)/[(c^2+ac)^2*a^2]=-b^4/c^2，所以M、N点的纵坐标之积为定值-b^4/c^2。