高等数学，敛散性，收敛域怎么做？

Question

请详细说明一下这类题的解决思路和解决方法。怎么做和每一步要做什么，多谢。

Answer 1

首先明确学习的级数的种类：正项级数，交错级数，幂级数。
对于不同种类的级数要有不同的方法。
最基础也很重要的是正项级数。对应的判断敛散性的方法有：
比较判别法，比较判别法的极限形式，比值判别法，根值判别法，以及利用级数的定义和性质来进行判别。
判别级数发散也可以利用级数收敛的必要性条件的逆否命题，即通项的极限为0这一必要条件。
交错级数一般是利用莱布尼兹定理进行判别。也可以看这个级数是不是绝对收敛，转化为正项级数从而进行判别。
幂级数一般是求收敛半径，收敛域，幂级数的和函数以及函数展开为幂级数。一般，幂级数在收敛域内就收敛，在收敛域外就发散。

你发的两道问题，一道是选择题，一道是填空题。由于不是大题，所以做题方法可以相对简单方便一些。
第1张图片求收敛域，先利用阿达玛公式，求出收敛半径。在判断两个端点的敛散性。判断端点敛散性可以结合p级数，使用比较判别法判别。
第2张图片是选择题， AB选项利用等价无穷小先进行等价替换，再结合P级数进行判别， C选项利用P级数结合比较判别。D选项使用比值判别法。

Answer 2

左边一张上的题：
应用比值法：lim{n->oo}|T(n+1)/T(n)| = |x| < 1 时收敛。
考察边界点：x = -1 处为收敛的交错级数，x = 1 处发散 (p-series test, n = 1/2 < 1)
收敛域：[-1, 1)
右边一张上的第 8 题：
A. 收敛 (可用cos 1/n 〜 1 - 1/n^2）
B. 发散 (可用limiting comparison test, 与 1/n 作极限比较。）
C. 收敛 (可用limiting comparison test， 与 1/n^2 作极限比较。）
D. 收敛 (可用ratio test:
lim{n->oo}|T(n+1)/T(n)|
= lim{n->oo} [(n+1)^(n+1)/n^n]/(n+1)^2
= lim{n->oo} [(n+1)^n/n^n]/(n+1)
= lim{n->oo} e/(n+1)
= 0)

Answer 3

你要问这“类”题目怎么做，不就是要学习课本上那堆收敛定理么？指望百度知道上给你一些比课本更简单直接的“方法”是不现实的