求微分方程dy/dx+y=e^-x的通解

Question

求微分方程dy/dx+y=e^-x的通解
求详细过程

Answer 1

具体回答如下：

齐次方程y'+y=0

dy/y+dx=0

ln│y│+x=ln│C│ (C是常数)

ye^x=C

y=Ce^(-x)

此齐次方程的通解是y=Ce^(-x)

设原方程的解为y=Axe^(-x)，代入原方程，化简得 Ae^(-x)=e^(-x)

A=1

y=xe^(-x)是原方程的一个特解

故原方程的通解是y=Ce^(-x)+xe^(-x)。

约束条件：

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

Answer 2

特征方程r+1=0；r=-1；通解y=Ce^(-x)；设特解y=axe^(-x)；y'=ae^(-x)-axe^(-x)。

代入原方程得；ae^(-x)-axe^(-x)+axe^(-x)=e^(-x)；解得a=1；因此，特解y=xe^(-x)；通解为y=Ce^(-x)+xe^(-x)。

扩展资料：

方法一:求出齐次方程y'+y=0  (r'+1=0,r'=-1) 的通解为y=Ce^-x    ;再求y'+y=e^-x的一个特解,
e^(-x)，q=-1, r'=-1；设解为y=Cxe^-x；代入得C=1，即y=xe^-x为一特解；所以该方程解为y=Ce^-x+xe^-x=(x+C)e^-x。

方法二：方程变形为y'e^x+ye^x=1；即(ye^x)'=1；两边积分得ye^x=x+c,故y=(x+c)e^-x。

参考资料来源：百度百科-微分方程的通解

Answer 3

这个是标准的一阶线性微分方程,有求解公式的

请见下图:

Answer 4

dy/dx+y=e^-x
y =∫（e^-x)dx
= -e^-x + C ( C 是常数)

Answer 5

y=dsolve('Dy+y=exp(-x)','x')

y =

x/exp(x) + C2/exp(x)