是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上是增函数

Question

答案和过程我都知道了，但有个疑问，就是分类讨论0<a<1的时候，为什么只要条件1/2a>=4成立，不用考虑ax2-x在区间上一定要>0吗？
如果我取a=1/8,x=3，ax2-x=-15/8<0这是为何?

Answer 1

肯定是要考虑的，函数问题定义域是优先考虑的。
根据复合函数单调性判断法则，当0<a<1时，要满足三个条件：
1)0<a<1 (外层函数单调递减）
2)1/(2a)>=4 （内层函数也单调递减）
3)当x=4时ax^2-x>0 (保证函数有意义，因为y=ax^2-x在区间[2,4]上是减函数，所以只要其最小值即x=4时的函数值大于0即可）
由1）2）得0<a≤1/8，由3）得a>1/4,
所以当0<a<1时是不符合题意的。

注意：因为a>0,ax^2-x=0的根为0或1/a,那么ax^2-x>0的解集为(-无穷大，0)或（1/a，正无穷大），根据1）2）两个条件，0<a≤1/8，1/a≥8，很明显，这两个区间都没有包含区间[2,4]。

Answer 2

因为1/2a≥4，所以0<a≤1/8,所以1/a≥8

ax^2-x=0的根为0或1/a,那么ax^2-x>0的解集为(0,1/a)包含（0，8）这个区间。

也就是说只要1/2a≥4，就能保证ax^2-x>0

否则正常来讲应该考虑你说的>0问题。

Answer 3

令t=√x,由x∈[2,4]知t∈[√2,2]
ax－√x＝at²－t
令f(t)=at²－t,由于a＞0且a≠1,所以对成轴t=1／2a＞0
当a＞1时，0＜1/2a＜1/2
f(t)在[√2,2]上单调递增，故只需保证at²－t＞0在t∈[√2,2]时成立即可，
所以只要最小值f（√2）＝2a－√2＞0就行了
a＞√2／2
与a＞1求交集知a＞1
当0＜a＜1时：要使原函数在[2，4]上增，则f(t)在[√2，2]上减
则对称轴1/2a≥2
a≤1/4
且最小值f(2)＝4a－2＞0
a＞1/2
交集为空集
综上知：a>1