近世代数 有限群的阶

Answer 1

证明：设群G中的元素x
是阶数大于2的元素
，由于阶数大于2，因此，它的逆不是自身，并且，它的逆的阶数也大于2。因此阶数大于2的元素成对出现，必为偶数个。

Answer 2

设群G的阶数为N，a是G的任意一个元素，设n是正整数。假定:∀n≤N，有aⁿ≠1，那么必有a，a²，...，aⁿ互不相等(这是因为:假设整数k和l都小于N，不妨设k＞l，有aᵏ＝aˡ，那么按照群的逆元素的存在性，两边左乘或右乘(a⁻¹)ˡ得到:aᵏ⁻ˡ＝1，1≤k-l≤N，矛盾)另外显然有:a，a²，...，aⁿ都不等于1。但是按照群的定义，G一定包含1，所以这个群的元素为N+1个，与前提条件矛盾，所以假设的内容为假，它的否命题为真，即:设群G的阶数为N，a是G的任意一个元素，设n是正整数。假定:∃n≤N，有aⁿ＝1，即群G的任意元素的阶数一定存在(有限)，并且小于G的阶数。证毕。