已知函数f(x)=ln(1+x)-x，g(x)=xlnx，(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)+g(b)-2g( )
已知函数f(x)=ln(1+x)-x，g(x)=xlnx，(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)+g(b)-2g( )＜(b-a)ln2。
(Ⅰ)解：函数f(x)的定义域是(-1，+∞)， ，令f′(x)=0，解得x=0， 当-1＜x＜0时，f′(x)＞0，当x＞0时，f′(x)＜0， 又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0。 (Ⅱ)证明：g(a)+g(b)-2g(  )=alna+blnb-(a+b)ln = ，由(Ⅰ)的结论知ln(1+x)-x＜0(x＞-1，且x≠0)， 由题设0＜a＜b，得  ，因此  ，所以  ，又  ， ，综上0＜g(a)+g(b)-2g(  )＜(b-a)ln2。 |
已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;(Ⅱ)设0...
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）． f′(x)= 1 1+x -1 ．令f′（x）=0，解得x=0．当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）=0，故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0．（Ⅱ）证明： g(a)+g(b)-2g( a+b ...
函数f(x)=in(1+x)-x,g(x)=xlnx 1.求函数f(x)的最大值 2.设0
令f'(x)=1\/(1+x)-1=0得x=0.在x=0附近,f'(x)由左正到右负,故函数f(x)有最大最值为f(0)=0.②设F(x)=g(a)+g(x)-2g(a+x2)则F'(x)=g'(x)-2g(a+x2)'=lnx-lna+x2.当0a∴F(b)>F(a)=0.即g(a)+g(b)-2g(a+b2)>0获证.又设G(x)=F(x)-(x-a)ln...
已知函数f(x)=ln(1+x)-kx(k∈R)(Ⅰ)若f(x)的最大值为0,求k的值;(Ⅱ...
（Ⅰ）由题意知，x＞-1，则f′（x）=11+x-k在（-1，+∞）上单调递减，∵f（0）=0；且f（x）的最大值为0；则f（x）在（-1，0）上存在增区间，在（0，+∞）存在减区间；则f′（0）=1-k=0；则k=1．（Ⅱ）g（x）=1+xef(x)+1=1+xelnx?x+1=ex+1不是等比源函数，...
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax(a>0),设F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的单...
（1）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax（x＞0），F′（x）=1x?ax2（x＞0）．因为a＞0由F′（x）＞0，可得x∈（a，+∞），所以F（x）在（a，+∞）上单调递增；由F′（x）＜0，可得x∈（0，a），所以F（x）在（0，a）上单调递减．（2）由题意可知k=F′（x0）=x0?ax02≤...
设函数f(x)=x1+x-aln(1+x),g(x)=ln(1+x)-bx(1)若函数f(x)在x=0处有...
（1）由已知得：f′（x）=1(1+x)2-a1+x，且函数f（x）在x=0处有极值，∴f′（0）=1-a=0，解得a=1．∴f（x）=x1+x?ln(1+x)，∴f′（x）=1(1+x)2?11+x=?x(1+x)2．当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f...
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax(a∈R),设F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)?g(x...
（1）由题意可知F(x)=f(x)+g(x)=lnx+ax(x＞0)，∴F′(x)=1x-ax2=x-ax2；当a≤0时，F′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴F（x）的增区间为（0，+∞）当a＞0时，令F′（x）＞0得x＞a；令F′（x）＜0得0＜x＜a，∴F（x）的增区间为（a，+∞），减区间为（0...
已知函数f[x]=xlnx,设g[x]=f[x]=ln[1+x]_x,判断g[x]的导数零点个数
f(x)=xlnx g(x)=f(x)+ln(1+x)-x =xlnx+ln(1+x)-x g'(x)=lnx+1+1\/(x+1)-1=lnx +1\/(x+1)g'(x)的零点，即方程lnx +1\/(x+1)=0的根 方程化成lnx=-1\/(x+1)构造两个函数y=lnx y=-1\/(x+1)在同一坐标系内作出这两个函数的图象 观察它们的交点仅有一个，故...
已知函数f(x)=lnx. (1)求函数g(x)=(x^2+1)f(x)-2x+2(x>=1)的最小值...
把右边的上下除以a²然后令t=b\/a (t＞1)问题转换为证明ln t＞(2t-2)\/(1+t²)设F(t)=左边－右边 F(1)=0 对F(t)求导，证明它的导数在t大于1的情况下恒为正，也就是F(t)递增。F(t)＞F(1)，即F(t)恒大于0，左边大于右边。
已知函数f(x)=lnx,g(x)=x.(Ⅰ)若x>1,求证:f(x)>2g(x?1x+1);(Ⅱ)求...
（Ⅰ）令F(x)＝f(x)?2g(x?1x+1)=lnx?2x?1x+1，F′(x)＝1x?4(x+1)2＝(x?1)2x(x+1)2．当x＞1时，F'（x）＞0 恒成立，∴F（x）在（1，+∞）上是增函数．∵F（x）在x=1 处连续，∴F（x）＞F（1）．∵F（1）=0，∴当x∈（1，+∞）时，F（x）＞0 恒成立...
已知函数f(x)=lnx,g(x)= (a>0),设F(x)=f(x)+g(x),(Ⅰ)求函数F(x)的单...
解：（Ⅰ） ， ∵a＞0，由 ，∴F（x）在（a，+∞）上单调递增；由 ，∴F（x）在（0，a）上单调递减， ∴F（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）；（Ⅱ） ， ，当 时， 取得最大值 ，∴ 。（Ⅲ）若 的图象与 的图象恰有四个不同的交点，即...
