已知函数f(x)对任意实数x，y满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时.f(x)＜0.

Question

已知函数f(x)对任意实数x，y满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时.f(x)＜0.
求:
(1)判断并证明f(x)的奇偶性。
(2)判断并证明f(x)的单调性.
(3)若f(2x+3)+f(x-1)＞0,求x的取值范围.

求详解!!!

Answer 1

(1)令x=0，y=1.代入得到f（1）=f（0）+f（1）===》f（0）=0
再令x=-x，y=x，代入得到f（0）=f（-x）+f（x）
解出f（-x）=-f（x）。所以函数f（x）为奇函数。

(2）设x1小于x2.
f（x2）-f（x1）====》f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）
又因为当x大于0时，f（x）小于0.
x2-x1大于0，所以f（x2-x1）小于0.
===》f（x2）-f（x1）小于0.
f（x）为减函数。

(3)要使f(2x+3)+f(x-1)＞0，即f(2x+3)大于-f(x-1)
===》f(2x+3)大于f(1-x)，由第二问知，f（x）为减函数
所以2x+3小于1-x
解得x小于-2/3

Answer 2

（1）
f(0+0)=f(0)+f(0)

f(0)=0

0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)

∴f(-x)=-f(x)

∴f(x)在R上是奇函数

（2）
设x1<x2

f(x2)-f(x1)

= f(x2)+ f(-x1)(奇偶性)

=f(x2-x1)<0(∵x2-x1>0)

∴f(x2)<f(x1)

f（x)在R上为减函数

（3）
f(2x+3)+f(x-1)>0即
f(2x+3)>-f(x-1)即
f(2x+3)>f(1-x)（奇函数）
2x+3<1-x （减函数）
x<-2/3

Answer 3

（1）令x=0,y=0
得f(0)=f(0)+f(0),
得f(0)=0;
令x=-y，得f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数
（2）由f(x+y)=f(x)+f(y),得f(x+y)-f(x)=f(y),
令x1>x2，得f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)
因为当x＞0时.f(x)＜0 所以f(x1-x2)<0，即f(x1)-f(x2)<0
所以f(x)为减函数。
(3)f(2x+3)+f(x-1)＞0得f(2x+3)>-f(x-1)
而f(x)为奇函数
所以-f(x-1)=f(1-x)
所以f(2x+3)>f(1-x)
而f(x)为减函数
所以2x+3<1-x
所以x<-2/3

Answer 4

（1） f(0)=0 y=-x f(0)=f(x)+f(-x)=0 f(-x)=-f(x)所以是奇函数
（2）设x1<x2 f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)=-f(x2-x1)>0 f(x1)>f(x2)
单调减
（3）f(2x+3)+f(x-1)=f(3x-2)＞0 3x-2<0 x<2/3