函数f(x)对于任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0是f(x)<0，若f(1)=-1,求f(x)在[-4，4]上的最大值与...

Question

函数f(x)对于任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0是f(x)<0，若f(1)=-1,求f(x)在[-4，4]上的最大值与最小值。烦劳写写具体步骤，不要太复杂的。

Answer 1

因为f(x+y)=f(x)+f(y)，f(1)=-1：
所以 f(1)=f(1)+f(0)，f(0)=0；
f(2)=f(1)+f(1)=-2，f(3)=f(2)+f(1)=-2-1=-3，……f(n)=-n；
又由f(0)=f(x)+f(-x)=0，知函数f(x)为奇函数，因此 f(-1)=1，f(-2)=2，f(-3)=3，……，f(-n)=n；

已知x>0时f(x)<0，而由奇函数特性可知x<0时f(x)>0；
对任意0<x<1，f(x+1)=f(x)+f(1)=f(x)-1<0-1=-1；f(x+1)=f(x-1)+f(2)>f(2)=-2；
即在区间[1，2]上，-2≦f(x)≦-1，区间端点值为函数值域；
同理对任意正整数（包括0点）区间都有类似上述结论，所以[0,4]区间函数最大 f(0)=0、最小f(4)=-4；
由奇函数性质，[-4,0]区间函数最大 f(-4)=4、最小 f(0)=0；
在[-4,4]区间函数最大值为4，最小值为-4；

Answer 2

令x=y=0,由f(x+y)=f(x)+f(y),得f(0)=0
再令y= -x,由f(x+y)=f(x)+f(y),得f(0)=f(x)+f(-x),得f(-x)= -f(x),函数f(x)是奇函数
f(1)=-1,f(2)=-2,f(3)=-3,在x>0时函数f(x)是减函数,
又因函数f(x)又是奇函数,所以x<0时函数f(x)也是减函数
在f(x)在[-4，4]上(分两段[-4,0]和[0,4])得最大值是 f(-4)=4,最小值f(4)=-4

Answer 3

可得：
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=-2
同理可得：f(4)=2f(2)=-4
f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1) 所以可得：f(0)=0
f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)
因此可得：f(-1)=-f(1)=1
同理可得：f(-4)=4f(-1)=4
所以可得f(x)在[-4,4]的最大值为4，最小值为-4。