如图，在直三棱柱ABC–A1B1C1中，AB垂直AC，AB=AC=1，AA1=2，D、E分别是BB1

Question

如图，在直三棱柱ABC–A1B1C1中，AB垂直AC，AB=AC=1，AA1=2，D、E分别是BB1、CC1的中点，M是DE的中点。
（1）求证:平面ADE垂直平面AMA1
（2）试求能否在线段AC1上找到一点N，使得直线MN与平面ADA1平行?请说明理由
（3）求三棱锥A1–ADE的体积

Answer 1

向量法:
(1)以A为原点,AC,AB,AA1为坐标轴正方向建立直角坐标系
根据题意得AD→=(0,1,1),AE→=(1,0,1),AA1→=(0,0,2),AM→=(1/2,1/2,1)
设面ADE法向量n1→=(x1,y1,1),则
y1+1=0,x+1=0,∴n1→=(-1,-1,1)
设面AA1M法向量n2→=(1,y2,z2),则
2z2=0,1/2+y2/2+z2=0,∴n2→=(1,-1,0)
∵n1→*n2→=-1+1+0=0,即n1→⊥n2→
∴面ADE⊥面AA1M
(2)易证AC→=(1,0,0)是面ADA1的法向量
设N(t,0,2t),那麼MN→=(t-1/2,-1/2,2t-1)
当MN∥面ADA1时,有MN→⊥AC→
即t-1/2=0,t=1/2
∴N是AC1的中点
(3)作DF⊥AA1,则DF⊥面AA1E
DF=AB=1
勾股定理得AE=A1E=√2,AA1=2,∴△AA1E是直角三角形
V=1/3*DF*S△AA1E=1/3*1*1/2*√2*√2=1/3

几何法:
(1)作MH⊥B1C1於H,连接A1H
∵三棱柱是直三棱柱,∴MH⊥面A1B1C1
∴A1M在面A1B1C1上的射影是A1H
易证H是B1C1中点,而A1B1=A1C1
∴A1H⊥B1C1,∴A1M⊥B1C1
∵DE∥B1C1,∴DE⊥A1M
勾股定理得AD=AE=DE=AC=√2
∴△ADE是等边三角形,而M是DE中点
∴DE⊥AM
∴DE⊥面AA1M,∴面ADE⊥面AA1M
(2)连接BC1,那麼M是BC1的中点
∵AB∈面ADA1,∴当MN∥AB时有MN∥面ADA1
根据三角形中位线定理逆定理,有N是AC1的中点
(3)同向量法

Answer 2

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