概论题:将n个球放入n个盒子

Question

设有编号为 1 ， 2 ， 3 ， ...,n 的 n 个求和编号为 1 ， 2 ， 3 ， ...,n 的 n 个盒子。现将这 n 个球放入 n 个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有 2 个球的编号和盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为？
【 思路 】 任给 2 个球的编号和盒子的编号相同 , 则剩下 n-2 个球没有一个编号相同；
而剩下 n-2 个球没有一个编号相同的概率为 1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)! ；
〔注意：上面用到了这 n 个球放入 n 个盒子内，要求每个盒子内放一个球，至少有一个球的编号和盒子的编号相同的概率为 1 － 1 ／ 2 ！＋ 1 ／ 3 ！－ ... ＋（ -1 ） ^(n-1)/n!; 〕
故恰好有 2 个球的编号和盒子的编号相同的概率为 (1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!) ；
给定 2 个球的编号和盒子的编号相同后可能的投放方法为 (n-2)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!).
n 个球中任取两个的可能取法为 C(2,n);
2 者相乘得出：恰好有 2 个球的编号和盒子的编号相同，的投放方法的总数为 C(2,n)*(n-2)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!)=(n!/2)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!).
当 n 趋于无穷大时，取法为（ n!/2 ） *[e^(-1)];
看不懂，请详细解释！
"(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!) "怎么得出来的？

Answer 1

是通过求递推数列A(n)=(n-1)*[A(n-1)+A(n-2)]的通项公式得到的.(An为n个球n个盒子无一配对的投放总数，具体算法详见贴图)。当n趋于无穷大是，用无穷级数展开式可以化简。

参考资料：http://wenku.baidu.com/view/4fb4700002020740be1e9b92.html

Answer 2

随便选出2个球放进和球号相同的盒号里，
则n 个球中任取两个的可能取法为 C(2,n);

然后对剩下的(n-2)个球，均要放在不和球号相同的盒子里。
根据你上面所说的。恰好有 2 个球的编号和盒子的编号相同的概率为 (1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!)

所以两者相乘得
C(2,n)*(n-2)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!)
=(n!/2)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!).
当 n 趋于无穷大时，
由e^x=1+x+1/2!x^2+...+1/n!x^n+...
令x=-1得
e^(-1)=1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!+...
则
取法为（ n!/2 ） *[e^(-1)];

Answer 3

Cn2*(n-2)!