一道复杂导数题

Question

已知函数f(x)={-x³+ax²+bx（x＜1）的图象在点（-2，f(-2)）处的切线方程为
{clnx（x≥1）
16x+y+20=0
（1）求实数a，b的值；
（2）曲线y=f(x)上存在两点M、N，使得△MON是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边MN的中点在y轴上，求实数c的取值范围；
（3）当c=e时，讨论关于x的方程f(x)=kx（k∈R）的实根个数。

我在网上搜了这道题，可是题目不一样，没有找到（2）的答案，另外我想这道题想了半天也没想出来，老师说（3）得分成7类讨论，然后说这题太麻烦了，就没讲。但我很想知道怎么算，请各位帮帮我，谢谢！

Answer 1

（1）a=-1 ,b=1
(2)提示:
图解法： 在y轴上取一点为圆心，做圆过原点，直径一端为M在左边，直径另一端能在 clnx（x≥1）图像上，易知c>0
代数法：数量积为0 即mn+(-m³+n²) c ln( n)=0 其中m<1,n>1,，且又有m=-n； 解c的范围。
解析法：设左边点M（-x,f(-x) ) （x>1),写出OM的中垂线方程，求出与y轴的交点P的坐标，以P为中点求出N点的纵坐标，故有了直径另一端点N的函数解析式，为值域为（0,1）的减函数，故当c>0时y=clnx（x≥1）必定与其相交，c<0必定不交。
此外，当0<x<1时将N坐标代入左边解析式，无解！

（3）提示：切线过原点，可求得x=1/2 ,k=1/4 ;x=e .k=1 ，x=0,k=0

注意图像有（0，0），（1,0）两个零点，大致为w形状，

故可分k<0 ,k=0, 0<k<1/4 ,,k=1/4 ,1/4 <k<1 ,k=1 ,k>1 这7种情况，列表比较清楚。
详细过程请自己求解

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Answer 2

1.a=1.b=0 首先把-2，f(-2)点带到16x+y=-20中，得f(-2)=12,f(x)=-x³+ax²+bx求导，得另一个方程-4a +b=-4.联立两
个方程。
2.当x<1,y=-x³+x²,画出基本图像，然后思考c,c不管怎么变，图像大概不变，就是翻转了一下。要讨论c的取值，两个点都在第一个函数上，是没有用的，而两个点不可能同时在第二个函数上，当你画出图像就知道不可能了，所以是一个点在第一个图像上，一个点在另一个图像上。好了，设（x1,y1),(x2,y2），有两个方程，第一个是x1+x2=0,y1/x1+y2/x2=0.开始化简，最后得到c=-x³+x²/㏑x，x1<0,对于这个方程高中没有办法，我们老师叫我们分析趋势，虽然不精确，但很快，最后结果c >0,而且趋于无穷大。