已知P（xy）满足椭圆方程2X^2+y^2\\、1，则y/x-1的最大值为？怎么做

Answer 1

∵p(x,y)在椭圆2x²+y²=1上
∴y/(x-1)即椭圆上点（x,y）到点（1,0）的斜率
即过点（1,0)且与椭圆有交点的直线L：y=k(x-1)的斜率
又直线的变化范围为从与椭圆在第一象限相切到与椭圆在第四象限相切（可画图更易理解）欲求得变化范围只需求出当过点（1,0）的直线与椭圆相切时的斜率k
即直线L与椭圆只有一个交点
联立2x²+y²=1，y=k(x-1)
得2x²+（k(x-1)）²=1
即（2+k²）x²-2k²x+k²-1=0
△=（-2k²）²-4(2+k²)(k²-1)
=4k^4-4(2+k²)(k²-1)
=0
即k^4-(2+k²)(k²-1)=0
即k^4-(2k²-2+k^4-k²)=0
即-k²+2=0
解k=±√2
∴当直线与椭圆相切时k=±√2
∴ -√2<k<√2
即y/(x-1)的最大值为√2PS:若题目问y/(x-1)的最小值即为-√2

Answer 2

解：椭圆方程你没有写清楚，可能是
2X^2+y^2=1
不过这无关紧要，只要会此方法即可。
如椭圆方程为
x^2/a^2+y^2/b^2=1
可用参数方程法，设x=acosα,y=bsinα
则
y/(x-1)=bsinα/(acosα-1)=k
得kacosα-bsinα=k=√[(ka)^2+b^2]cos{α+arctan[b/(ka)]}≤√[(ka)^2+b^2]
两边平方得
k^2≤k^2a^2+b^2
(1-a^2)k^2≤b^2
这里一般应有0<a<1。例如本例：
2X^2+y^2=1
应该是a^2=1/2的。
得k≤b/√(1-a^2)
本例a^1=1/2，b^2=1，故
k≤1/√(1-1/2)=√2
也即最大值是√2.
当然y/(x-1)=bsinα/(acosα-1)=k后还有一种解法，就是万能公式法，将
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2 (α/2)]
cosα=[1-tan^2 (α/2)]/[1+tan^2 (α/2)]
代入得关于tan(α/2)的一元二次方程，令其判别式△≥0即可得k的取值范围。
不明白请追问。