气球膨胀状态的函数r(V)=(3V/4π)^1/3求导问题

Question

“相当于把（3v/4π）看成整体，假设u=3v/4π
那么r=u^1/3
r'=(1/3)*u^(-2/3)*u'=r'(v)=(1/3)*(3V/4π)^(-2/3)*(3V/4π)
这是复合函数求导”
这是一个回答的答案 我想问 r=u^1/3的求导 答案是r'=(1/3)*u^(-2/3)*u' 数学书上的公式是f(x)=x^a，则f'(x)=a·x^a-1 那么按照这个公式算u^3/1 不是应该是r'=(1/3)*u^(-2/3) 吗 为什么后面还要乘个u' 不只是这个答案是这样别的答案即使不把整体看成u 按照公式后面都乘了个(3V/4π)' 我把别的不按整体看成u的答案也发过来
最佳答案 r(V)=(3V/4π)^1/3
r'(v)=(1/3)*(3V/4π)^(-2/3)*(3V/4π)'
就想问为什么后面又多乘了个(3V/4π)'
在线等 谢谢了 还没有学这块 我自学呢

Answer 1

你对复合函数求导法则不是很了解，
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)即y=f（g（x））的导数间的关系为
y'=dy/dx=dy/du*du/dx=f'（u）*g'（x）=f'（g（x））*g'（x）
如果不乘以g'（x），f'（g（x））即则表示y对u的导数，而非y对x的。
本题中u=3v/4π，所以一定要乘以u'，即(3V/4π)'
否则表示r对3v/4π的变化率，而不是r对v的。

追问

那请问 在遇到跟这个类似的比如r(V)= A^3（A为一个复合函数） 先设u=A 能否 r'=3·u^2·u' 就这样当成一个公式用? 还有我是文科生…在遇到这样的问题时是这样算吗? 教科书上其实没有复合函数的章节 只有基本初等函数求导 自学问题果然还是挺多的

追答

既然r(V)= A^3，直接 r'（V）=3·A^2·A' 就ok了，不用把函数名称变成u，
就像一个函数，你称它为f（x）还是g（x），都无所谓

r'=3·u^2·u' 是从[f(g(x))]'=f'（g（x））*g'（x）推导而来的，你要掌握后者，才能对不同问题进行求导。

实际上复合函数求导很重要，因为基本初等函数只有常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数六种，而初等函数都是由基本初等函数经过加减乘除和复合得来的，
（例如y=sin（2x+1），就是由y=x、y=2、y=1加减乘除，得到y=2x+1，在与y=sinx复合得到的）
如果实在不会，把r(V)=(3V/4π)^1/3处理一下，变成r(V)=(3/4π)^(1/3)*V^(1/3)，
(3/4π)^(1/3)是系数，对幂函数V^(1/3)求导，应该会了吧。